Αξιοποίηση γραμμικών και μη-γραμμικών ιδιοτήτων του γραφενίου σε νανοφωτονικούς κυματοδηγούς

Abstract

The main objective of this doctoral thesis is the study of integrated nanophotonic waveguides incorporating one or multiple graphene sheets, both in the linear and nonlinear regime. The motivation of this work is the exceptional optical properties of graphene sheets which can be further exploited by the increased light-matter interaction offered by subwavelength photonic waveguides. The analysis is founded on the strict mathematical treatment of 2D materials as conductive sheets. This is achieved by modeling 2D materials through the anisotropic tensors of the corresponding linear and nonlinear surface conductivities. Our approach is demonstrated to be superior to the more commonly used in the literature equivalent bulk medium approximation, both in terms of computational burden and physical consistency with graphene’s 2D nature. Alongside the mathematical treatment we also present a comprehensive review of theoretical models and recent experimental results for the calculation of graphene’s surface conductivities. For the nonlinear propagation of guided modes and assessment of graphene’s non-linear contribution we employ a version of the nonlinear Schrödinger equation (NLSE) which was rigorously extracted for the inclusion of 2D conductive sheets. The first nonlinear phenomenon discussed is the optical Kerr effect, which is modeled by graphene’s third order nonlinear surface conductivity. In direct comparison with the common bulk nonlinear parameters, we calculate the surface nonlinear parameters which encompass graphene’s nonlinearity as well as the mode’s overlap with it. The surface nonlinear parameters are calculated in the near infrared for several archetypical integrated silicon photonic (wire, slot) and plasmonic (metal stripe, metal-insulator-metal) waveguides. A graphene nano ribbon supporting plasmonic graphene edge modes is also considered in the far infrared regime. By also taking into account the induced linear losses by graphene, we are able to directly compare bulk and surface nonlinear contributions, concluding that the inclusion of graphene greatly enhances nonlinear propagation, especially in silicon waveguides. Graphene’s saturable absorption (SA) in integrated photonic waveguides is also studied. Graphene’s SA is expressed through the saturation of electron interband transitions in Maxwell’s equations, thus avoiding homogeneous or scalar field approximations. Our approach is again based on the rigorous NLSE framework. We consider three distinct scenarios: the propagation of one waveguide mode, the simultaneous propagation of two modes at the same frequency and, finally, the simultaneous propagation of two frequencies of the same mode. The theoretical calculations are presented separately for each case by gradually increasing the complexity of the problem. The approach demonstrated in this work is able accurately model the SA of conductive 119sheets through the overlap of arbitrarily complex spatial and temporal mode profiles with the 2D material. The NLSE formulation is used to study three examples: Firstly, the self-modulation of losses in a gaussian pulse which can lead to pulse shaping and extinction ratio enhancement. Secondly, the cross-modulation of absorption between the two polarizations of a waveguide mode and, thirdly, the cross-modulation of losses between two frequencies. The last two cases both demonstrate that graphene SA can be used for the all-optical control of light in integrated photonic waveguides with lower power requirements than the Kerr nonlinearity. In the final chapter of the thesis, we develop an analytical study of passive Parity-Time Symmetric (PT-Symmetric) photonic coupled elements with graphene. We consider a photonic coupler consisting of two straight waveguides, one of which exhibits variable losses. The coalescence of the coupler’s eigenmodes due to the loss-induced exceptional point is utilized in order demonstrate 1 × 2 switching functionality. The analysis reveals the existence of absolute limits of the insertion losses and extinction ratio of such a device. Subsequently, we use graphene as the means to modulate the losses of one of the waveguides of a silicon photonic coupler. The losses are modulated electro-optically by external electrostatic basing of the graphene sheets while the biasing conditions are meticulously chosen so as to satisfy the requirements for passive PT-Symmetric operation. The suggested switch/router is characterized by low losses, high extinction ratio and small footprint. Finally, by taking advantage of graphene’s anisotropic conductivity we demonstrate how the above design can be modified in order to achieve polarization dependent switching.

Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την ιστορική και βιβλιογραφική αναδρομή στην ερευνητική περιοχή της διατριβής. Παρουσιάζονται οι βασικότερες ιδιότητες του γραφενίου, με ιδιαίτερη έμφαση στην ηλεκτρική αγωγιμότητά του, και παρατίθενται οι σημαντικότερες πειραματικές και θεωρητικές εργασίες που απορρέουν από αυτές. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις γραμμικές και μη-γραμμικές ιδιότητες του γραφενίου στην κοντινή και μακρινή υπέρυθρη συχνοτική περιοχή. Η ανάλυση εστιάζεται στην ηλεκτρική επιφανειακή αγωγιμότητα του γραφενίου που απορρέει από την ιδιαίτερη ηλεκτρονιακή δομή του και η οποία δύναται να αναλυθεί σε γραμμική και μη-γραμμική. Παρουσιάζεται ο πλήρης τανυστικός και ανισοτροπικός χαρακτήρας της και δίνονται απλοποιημένες σχέσεις με βάση τις πειραματικά και θεωρητικά προτεινόμενες συμμετρίες. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάται το φαινόμενο Kerr τρίτης τάξης σε ευθύγραμμους κυματοδηγούς με γραφένιο. Η έρευνα πραγματοποιείται μέσω του μαθηματικού πλαισίου της Μη-Γραμμικής Εξίσωσης του Schrodinger (NLSE), η οποία τροποποιείται κατάλληλα για την ενσωμάτωση της επιφανειακής μη-γραμμικής αγωγιμότητας δυσδιάστατων (2D) υλικών, όπως το γραφένιο. Καθώς η μη-γραμμικότητα στην NLSE θεωρείται ως μικρή μεταβολή του γραμμικού προβλήματος είναι απαραίτητη και η ορθή λύση του τελευταίου. Οι προσομοιώσεις του γραμμικού προβλήματος διεξάγονται κάνοντας χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (FEM) για την ανάλυση των ιδιορρύθμων στη διατομή του κυματοδηγού. Για τη συνεπέστερη μοντελοποίηση το γραφένιο εισάγεται στη FEM ως οριακή συνθήκη επιφανειακού ρεύματος. Η θεωρία που αναπτύχθηκε εφαρμόζεται σε διάφορους τύπους κυματοδηγών πυριτίου (καλωδίου και εγκοπής) και πλασμονικών κυματοδηγών (τύπου metal stripe και μέταλλο-μονωτής-μέταλλο) στην κοντινή υπέρυθρη συχνοτική περιοχή και κυματοδηγούς νάνο-ταινίας γραφενίου (graphene nanoribbon) στη μακρινή υπέρυθρη περιοχή, με σκοπό τη σύγκριση με άλλα θεωρητικά μοντέλα στη βιβλιογραφία και τη γενικότερη αποτίμηση της μη-γραμμικής συμπεριφοράς των κυματοδηγών με γραφένιο. Το τέταρτο κεφάλαιο έχει ως θέμα τη μελέτη της κορέσιμης απορρόφησης σε ευθύγραμμους κυματοδηγούς με γραφένιο. Προσθέτοντας έναν όρο κορεσμού στην επιφανειακή γραμμική αγωγιμότητα γίνεται εξαγωγή της κορέσιμης μη-γραμμικής παραμέτρου και των αντίστοιχων εξισώσεων της NLSE. Ο φορμαλισμός που ακολουθείται, εκκινώντας από τις εξισώσεις του Maxwell, επιτρέπει τον ακριβή υπολογισμό της αλληλεπίδρασης των οδηγούμενων ρυθμών με κάθε (απειροστά μικρό) τμήμα γραφενίου, ανεξαρτήτως του προφίλ του ρυθμού ή του τρόπου τοποθέτησης του γραφενίου. Κάνοντας εν συνεχεία χρήση του μοντέλου αυτού παρουσιάζονται παραδείγματα μη-γραμμικής αυτό-διαμόρφωσης και έτερο διαμόρφωσης απωλειών. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία της Συμμετρίας Ισοτιμίας-Χρόνου (PT-Symmetry) για δύο ευθύγραμμους συζευγμένους κυματοδηγούς και μελετάται η εφαρμογή της σε κυματοδηγούς με γραφένιο. Συγκεκριμένα, δίνεται έμφαση στην ύπαρξη κρίσιμων σημείων (exceptional points) στο πεδίο των παραμέτρων απωλειών. Εστιάζοντας στα παθητικά συστήματα, γίνεται εξαγωγή αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τις ιδιαιτερότητες στη λειτουργία ενός παθητικού PT-Symmetric φωτονικού ζεύκτη, ο οποίος αποτελείται από ένα κυματοδηγό χωρίς απώλειες και από ένα όμοιο κυματοδηγό όπου οι απώλειες μπορούν να μεταβληθούν μεταξύ ενός χαμηλού και υψηλού επιπέδου. Εξάγεται αναλυτικά ένα θεωρητικό μέγιστο του συντελεστή μετάδοσης ισχύος και το οποίο αποδεικνύεται ότι εξαρτάται αποκλειστικά από το λόγο του επιπέδου χαμηλών και υψηλών απωλειών. Η θεωρία αυτή εφαρμόζεται, μέσω της δυναμικά ελεγχόμενης γραμμικής αγωγιμότητας του γραφενίου, στη σχεδίαση οπτικών διακοπτικών στοιχείων. Τέλος, αξιοποιώντας την εγγενή ανισοτροπία του γραφενίου παρουσιάζεται η αναλυτική θεωρητική σχεδίαση διακοπτικών στοιχείων που είναι ευαίσθητα ως προς την πόλωση του οδηγούμενου ρυθμού. Στο έκτο κεφάλαιο επιχειρείται μια συνολική αποτίμηση της εργασίας, ανακεφαλαιώνονται τα βασικά συμπεράσματα της μελέτης και παρατίθενται ορισμένες πιθανές μελλοντικές ερευνητικές προεκτάσεις. Η διατριβή ολοκληρώνεται με ένα παράρτημα όπου περιγράφεται αναλυτικά η τροποποίηση της FEM για τη λύση του γραμμικού προβλήματος ιδιορρυθμών με σκοπό την εισαγωγή του γραφενίου είτε ως οριακή συνθήκη, διατηρώντας με τον τρόπο αυτό τον πραγματικό δυσδιάστατο χαρακτήρα του και αποφεύγοντας φυσικώς μη αποδεκτά συμπεράσματα.