A study of computational and algorithmic methods for solving partial differential equations based on the unified transform method

Abstract

In this thesis, numerical techniques were developed for solving linear, elliptic partial differential equations (PDEs) based on the unified transform (or the Fokas method). In particular, a preconditioned iterative scheme for the numerical solution of the generalized Dirichlet-to-Neumann (DtN) map was proposed. Moreover, iterative spatial-stepping techniques were developed based on explicit time-integration methods for solving a PDE in the interior of the computational domain. Additionally, a technique was proposed for estimating the error a posteriori, using the global relation. Then, a class of compact spatial-stepping schemes for solving PDEs in the interior of the computational domain, using either explicit or implicit time-integration methods, was also proposed. Furthermore, a class of parallel unified transform techniques based on the domain decomposition method was proposed.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή αναπτύχθηκαν αριθμητικές τεχνικές για την επίλυση γραμμικών, ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.) με βάση τη μέθοδο του ενοποιημένου μετασχηματισμού (ή μέθοδος του Φωκά). Συγκεκριμένα, προτάθηκε προσυντονισμένο σχήμα για την αριθμητική επίλυση της γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann (DtN). Επίσης, αναπτύχθηκαν μέθοδοι επαναληπτικού χωρικού βηματισμού με βάση ανοιχτές μεθόδους χρονικής ολοκλήρωσης για την επίλυση της Μ.Δ.Ε. στο εσωτερικό του υπολογιστικού χωρίου. Ακόμα, προτάθηκε τεχνική εκτίμησης σφάλματος με χρήση της εξίσωσης global relation. Εν συνεχεία, προτάθηκε κλάση συμπαγών μεθόδων χωρικού βηματισμού για την επίλυση της Μ.Δ.Ε. στο εσωτερικό υπολογιστικού χωρίου, όπου γίνεται χρήση είτε ανοιχτών είτε κλειστών μεθόδων χρονικής ολοκλήρωσης. Επιπρόσθετα, προτάθηκε κλάση παράλληλων τεχνικών ενοποιημένου μετασχηματισμού με βάση τη μέθοδο διαχωρισμού του χωρίου.