Ασφάλεια πληροφοριακών συστημάτων: μαθηματικές αναλύσεις

Abstract

In this doctoral thesis we derive closed-form solutions for a differential equation that belongsto a general class of differential equations class of the formdy(t )dt=Σ f i(t ) y (t )ik>1,0≤k+1withf i(t )real functions of t . This class of differential equations resulted from the analysisof a probabilistic cryptographic protocol for key agreement and can be seen as a generalizationof the Abel differential equations of the first kind as it differs from this class in that it includespowers of the unknown function greater than 3. We show that the closed-form solution can bewritten using a class of functions called Generalized Hyper-Lambert functions, whichgeneralize the well-known Lambert function. Then we compute numerically the solutionsbased on these functions and compare them with the solutions obtained from the directsolution of thedifferential equation, demonstrating the numerical accuracy of our solution. In addition, weinvestigate the properties of the general differential equations class for any value of k withrespect to its solvability by closed-form expressions. Finally, we derive lower boundsfor the interpolation polynomials for the square root of discrete logarithm problem in ellipticcurves with orders that frequently appear in cryptographic applications, providing furtherevidence for the computational intractability of the cryptosystems based on such ellipticcurves.

Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή δίνουμε κλειστό τύπο για τη λύση μιας ειδικής περίπτωσηςδιαφορικής εξίσωσης που μπορεί να ενταχθεί στη γενική μορφή διαφορικών εξισώσεων τηςμορφήςdy(t )dt=Σ f i(t ) y (t )i, με k>1,0≤k+1μεf i(t )πραγματικές συναρτήσεις του t .Η μορφή αυτή προέκυψε από την ανάλυση ενός πιθανοτικού πρωτοκόλλου ασφαλούςσυμφωνίας κοινού κλειδιού κρυπτογράφησης και γενικεύει τις διαφορικές εξισώσεις Abelπρώτου είδους περιλαμβάνοντας την άγνωστη συνάρτηση σε ακέραιες δυνάμεις μεγαλύτερεςαπό 3. Δείχνουμε ότι η λύση για την ειδική αυτή περίπτωση διαφορικών εξισώσεων μπορείνα διατυπωθεί με χρήση της κλάσης συναρτήσεων Generalized Hyper-Lambert, η οποίαγενικεύει τη συνάρτηση Lambert. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε αριθμητικά τις λύσεις πουβασίζονται στις συναρτήσεις Generalized Hyper-Lambert και τις συγκρίνουμε με αυτές πουλαμβάνονται απ' ευθείας από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, δείχνοντας ότι οιυπολογισμοί που βασίζονται στις συναρτήσεις αυτές οδηγούν σε μεγάλη ακρίβεια αριθμητικήςεπίλυσης. Επιπλέον, διερευνούμε τις ιδιότητες της γενική κατηγορίας διαφορικών εξισώσεωνγια οποιαδήποτε τιμή του k όσον αφορά την επιλυσιμότητά τους με κλειστό τύπο.Τέλος, στη διατριβή αυτή, υπολογίζουμε κάτω φράγματα για τον βαθμό των πολυωνύμωνπροσέγγισης της τετραγωνικής ρίζας διακριτού λογαρίθμου σε ελλειπτικές καμπύλες ειδικών Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή δίνουμε κλειστό τύπο για τη λύση μιας ειδικής περίπτωσηςδιαφορικής εξίσωσης που μπορεί να ενταχθεί στη γενική μορφή διαφορικών εξισώσεων τηςμορφήςdy(t )dt=Σ f i(t ) y (t )i, με k>1,0≤k+1μεf i(t )πραγματικές συναρτήσεις του t .Η μορφή αυτή προέκυψε από την ανάλυση ενός πιθανοτικού πρωτοκόλλου ασφαλούςσυμφωνίας κοινού κλειδιού κρυπτογράφησης και γενικεύει τις διαφορικές εξισώσεις Abelπρώτου είδους περιλαμβάνοντας την άγνωστη συνάρτηση σε ακέραιες δυνάμεις μεγαλύτερεςαπό 3. Δείχνουμε ότι η λύση για την ειδική αυτή περίπτωση διαφορικών εξισώσεων μπορείνα διατυπωθεί με χρήση της κλάσης συναρτήσεων Generalized Hyper-Lambert, η οποίαγενικεύει τη συνάρτηση Lambert. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε αριθμητικά τις λύσεις πουβασίζονται στις συναρτήσεις Generalized Hyper-Lambert και τις συγκρίνουμε με αυτές πουλαμβάνονται απ' ευθείας από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, δείχνοντας ότι οιυπολογισμοί που βασίζονται στις συναρτήσεις αυτές οδηγούν σε μεγάλη ακρίβεια αριθμητικήςεπίλυσης. Επιπλέον, διερευνούμε τις ιδιότητες της γενική κατηγορίας διαφορικών εξισώσεωνγια οποιαδήποτε τιμή του k όσον αφορά την επιλυσιμότητά τους με κλειστό τύπο.Τέλος, στη διατριβή αυτή, υπολογίζουμε κάτω φράγματα για τον βαθμό των πολυωνύμωνπροσέγγισης της τετραγωνικής ρίζας διακριτού λογαρίθμου σε ελλειπτικές καμπύλες ειδικών τάξεων συχνά χρησιμοποιούμενων στην κρυπτογραφία, ενισχύοντας τις ενδείξεις για τηνυπολογιστική δυσκολία παραβίασης των κρυπτοσυστημάτων που βασίζονται σε τέτοιεςελλειπτικές καμπύλες