Φαινόμενα συγχρονισμού σε πλέγματα συζευγμένων ταλαντωτών

Abstract

In this PhD thesis we study synchronization phenomena and pattern formation in reaction-diffusion systems, when many oscillators are coupled in a lattice network or in a serial topology. The simulation methods used are the Kinetic Monte Carlo and the Euler Numerical Integration. The system under study is the dissipative Lattice Limit Cycle (LLC) model. We present how the system's dynamics diverges from the predictions of the Mean Field Theory, when restricted on low-dimensional supports, due to the spatial restrictions and to the noise induced by the simulation method. We numerically show that when the coupling is reactive (short or long distance) and when the reaction rates are substituted by the corresponding effective values, then the mean concentrations are correctly predicted by the Mean Field equations. This result doesn’t hold when the coupling is of the long distance diffusion type, since this type of diffusion is not taken into account in the Mean Field equations. To further study the divergence from the Mean Field we employ the method of the abstract weighted network for the description of the LLC system. We show that the network degree distribution and the average clustering coefficient display power law behavior with exponents which classify the system in the category of scale free networks. We investigate the appearance of chimera states, i.e. of the coexistence of coherent and incoherent oscillators of the LLC type, when they are coupled in a ring topology. We calculate chimera characteristic measures, such as the mean phase velocity, which verify the existence of such states, and we study their multiplicity as the system approaches the critical point of the Hopf bifurcation.

Στη διδακτορική αυτή διατριβή μελετώνται φαινόμενα συγχρονισμού και σχηματισμοίχωροχρονικών δομών που εμφανίζονται σε συστήματα αντίδρασης-διάχυσης, όταν πολλοίταλαντωτές (αντιδρώντα) είναι συζευγμένοι μεταξύ τους σε ένα πλεγματικό δίκτυο ή σε ένασειριακό σχηματισμό. Οι μέθοδοι προσομοίωσης που χρησιμοποιούνται είναι η Kinetic Monte Carlo (Κινητική Μέθοδος Μόντε Κάρλο) και η αριθμητική ολοκλήρωση κατά Euler (Ώηλερ). Η μελέτη πραγματοποιείται για τομοντέλο του Πλεγματικού Οριακού Κύκλου (ΠΟΚ). Αρχικά αναλύεται σε βάθος το μοντέλο LLC. Παρουσιάζεται πώς η δυναμική του συστήματοςδιαφέρει από την πρόβλεψη της θεωρίας του Μέσου Πεδίου όταν περιορίζεται σε μικρέςχωρικές διαστάσεις, τόσο εξαιτίας των περιορισμών που προκύπτουν από τη χωρικήδιάταξη, όσο και λόγω του θορύβου που εισάγει η μέθοδος προσομοίωσης. Δείχνεταιαριθμητικά ότι όταν η σύζευξη είναι του τύπου αντίδρασης σε μικρή ή μεγάλη κλίμακα καιόταν οι ρυθμοί των αντιδράσεων αντικατασταθούν από τις ενεργές τιμές αυτών τότε οιμέσες συγκεντρώσεις των αντιδρώντων μπορούν να προβλεφθούν από τις εξισώσεις τουΜέσου Πεδίου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο όταν η σύζευξη είναι του τύπου διάχυσης, καθώς τοείδος της διάχυσης αυτής δεν υποστηρίζεται από τις εξισώσεις του Μέσου Πεδίου. Σεεπόμενο στάδιο παρουσιάζεται η μέθοδος αφηρημένου σταθμισμένου δικτύου για τηνπεριγραφή των διεργασιών που λαμβάνουν χώρα στο ΠΟΚ (LLC) σύστημα. Δείχνεται ότι ηκατανομή του βαθμού του δικτύου και ο μέσος συντελεστής συσσωμάτωσης ακολουθείνόμο δύναμης με εκθέτες που ταξινομούν το αφηρημένο δίκτυο στην κατηγορία τωνδικτύων ελεύθερης κλίμακας. Στη συνέχεια διερευνάται η εμφάνιση καταστάσεωνχίμαιρας, δηλαδή την ταυτόχρονη συνύπαρξη συγχρονισμένων και ασυγχρόνιστωνταλαντωτών τύπου ΠΟΚ (LLC), όταν αυτοί είναι συζευγμένοι σε κυκλικό σχηματισμό.Υπολογίζονται χαρακτηριστικά μεγέθη, όπως η μέση φασική ταχύτητα, που επιβεβαιώνουντην ύπαρξη αυτών των καταστάσεων, και μελετάται η πολλαπλότητα και η σημασία τους.