Εφαρμογές της διαφορικής γεωμετρίας στην οδήγηση εργαλείων εργαλειομηχανών CNC

Abstract

The present dissertation aims at introducing a new mathematical framework, based on a curve’s canonical equations (abbreviated as CE), which are known from Differential Geometry. Being polynomial expressions of the curve’s arc length s, the CE provide greater feedrate accuracy, compared to the existing parametric algorithms of the same order. The above fact, combined with the canonical equations’ applicability on any continuous curve with continuous derivatives, regardless of its representation, renders them an ideal tool for the development of general-purpose real-time interpolation algorithms.Given that the CE coefficients consist of the curve’s differential properties (namely, the curvature, torsion and their arc length derivatives), the present dissertation deals with the expression of the aforementioned properties in closed form, depending on the chosen curve representation. This includes the study of surface intersections, which are frequently used by CAD systems in order to represent complex space curves. Moreover, it is proven that the proposed algorithms admit to corrections, supplying a means of improving feedrate accuracy, without the additional cost of employing higher order Taylor series terms.An additional, important advantage of the proposed algorithms, lies in the fact that they do not require knowledge of the curve’s analytic expression. Hence, they allow the interpolation of complex geometrical loci, whose analytic expressions are either difficult to deduce, using current elimination methods for non-linear equation systems, or are extremely impractical, due to their complexity. This dissertation addresses the problem of interpolating two such loci: offset curves and plane bisectors. Both of these entities play an important role in CNC machining, with applications that include the tool’s radius compensation and path planning during pocket clearing.It is shown that the differential properties of the above loci can be linked to the respective properties of their generators and may, hence, be easily computed through successive derivations of the generator curve’s position vector. In addition, previously suggested methods for the handling of possible topological irregularities (self-intersections and internal loops) are reviewed, so as to ensure that the generated points remain on the true locus.Furthermore, the presented offset interpolation methods are extended, in order to accommodate the path planning of a ball-end cutter, moving in constant contact with two given surfaces – a technique which is widely adopted by CAD/CAM systems to guide the tool through the surface machining of complex parts. The tool may contact any of the two surfaces through either its tip, or its cylindrical periphery.

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση ενός νέου μαθηματικού πλαισίου, βασιζόμενου στις γνωστές από τη Διαφορική Γεωμετρία κανονικές εξισώσεις (συντετμημένα ΚΕ) της καμπύλης. Όντας πολυωνυμικές εκφράσεις του μήκους τόξου s, οι ΚΕ παρέχουν ακριβέστερο έλεγχο της ταχύτητας πρόωσης σε σύγκριση με τους υπάρχοντες παραμετρικούς αλγορίθμους της ίδιας τάξης. Το ανωτέρω γεγονός, σε συνδυασμό με την εφαρμοσιμότητά τους σε όλες τις συνεχείς καμπύλες με συνεχείς παραγώγους, ανεξάρτητα από τον τρόπο αναπαράστασής τους, καθιστά τις ΚΕ ένα ιδανικό εργαλείο για την ανάπτυξη γενικών αλγορίθμων παρεμβολής, ικανών να εργάζονται επί οποιασδήποτε επίπεδης ή χωρικής καμπύλης σε πραγματικό χρόνο.Δοθέντος ότι οι συντελεστές των ΚΕ συναρτώνται με τις διαφορικές ιδιότητες της καμπύλης (δηλαδή την καμπυλότητα, τη στρέψη και τις παραγώγους τους ως προς το s), αναπτύσσονται αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των εν λόγω ιδιοτήτων, ανάλογα με τον εκάστοτε τρόπο αναπαράστασης της καμπύλης. Στα αντικείμενα της διατριβής συμπεριλαμβάνεται και ο υπολογισμός των διαφορικών ιδιοτήτων των επιφανειακών τομών, ενός δημοφιλούς τρόπου αναπαράστασης πολύπλοκων χωρικών καμπυλών στα συστήματα CAD. Επιπλέον, εξετάζεται η εισαγωγή διορθωτικών όρων στις ΚΕ, μέσω της οποίας επιτυγχάνεται η βελτίωση της ακρίβειας στον έλεγχο της ταχύτητας πρόωσης, χωρίς το επιπρόσθετο υπολογιστικό κόστος που επιφέρει η χρήση υψηλότερης τάξης όρων της σειράς Taylor.Σημαντικό πλεονέκτημα των προτεινόμενων αλγορίθμων είναι, επίσης, το γεγονός ότι για την εφαρμογή τους δεν απαιτείται η γνώση της αναλυτικής έκφρασης της παρεμβαλλόμενης καμπύλης. Κατά συνέπεια, επιτρέπουν την παρεμβολή πολύπλοκων γεωμετρικών τόπων, οι αναλυτικές εκφράσεις των οποίων είτε είναι δύσκολο να προσδιοριστούν με τις τρέχουσες μεθόδους απαλοιφής αγνώστων από μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων, είτε είναι δύσχρηστες, εξ αιτίας της πολυπλοκότητάς τους. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, μελετάται το πρόβλημα της παρεμβολής δύο γεωμετρικών τόπων με σημαντικές εφαρμογές στον τομέα του αριθμητικού ελέγχου των εργαλειομηχανών, καθώς χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, για την αντιστάθμιση της ακτίνας του κοπτικού εργαλείου και τον προγραμματισμό των διαδοχικών διαδρομών του κατά την κατεργασία θυλάκων: των καμπυλών offset και των ισαπεχουσών δύο επίπεδων καμπυλών.Πραγματοποιείται μία εκτενής εξέταση των διαφορικών ιδιοτήτων των προαναφερθέντων γεωμετρικών τόπων και παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό τους, βασιζόμενες αποκλειστικά στις αντίστοιχες ιδιότητες των γενετειρών καμπυλών. Γίνεται, επίσης, μία ανασκόπηση των μεθόδων που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία για την αντιμετώπιση των τοπολογικών ιδιομορφιών τους (αυτοτομών και εσωτερικών βρόγχων), ώστε να εξασφαλιστεί η παραμονή των παραγόμενων σημείων επί του πραγματικού γεωμετρικού τόπου.Παράλληλα, συζητείται η επέκταση των προτεινόμενων μεθόδων παρεμβολής των καμπυλών offset για τον έλεγχο της διαδρομής του κέντρου ενός σφαιρικού εργαλείου, ώστε αυτό να διατηρείται σε μόνιμη επαφή με δύο προκαθορισμένες επιφάνειες – μία τεχνική που χρησιμοποιείται συχνά από τα συστήματα CAD/CAM για την επιφανειακή κατεργασία πολύπλοκων εξαρτημάτων. Το εργαλείο μπορεί να εφάπτεται οποιασδήποτε εκ των δύο επιφανειών είτε μέσω του ημισφαιρικού του άκρου, ή μέσω του κυλινδρικού του στελέχους.