Οι μεθοδολογίες δυναμικής βελτιστοποίησης και τα διαφορικά παίγνια στην οικονομική θεωρία: εφαρμογές στα οικονομικά του περιβάλλοντος

Abstract

Abstract This dissertation makes a study of whether dynamic optimization and differential games are applicable to environmental economics.The first part of this work is dedicated to the known today dynamic methodologies of economics, i.e., the calculus of variation, optimal control, and dynamic programming, which are dynamic optimization methods of one person or of one group of persons that cooperates, and the differential games which is the case of at least two non-cooperative players. In both cases, the involved parties maximize their reward or minimize their losses.The Calculus of Variations is a branch of mathematics that dates back to ancient Greek, still known as “the isoperimetric inequality”. The development of this method gave solutions to problems in geometric optics (Fermat 1662), problems of the bodies' motion inside liquids (Newton 1685) as well as the solution of brachistochrone problem (Galilei 1638). The introduction of Calculus of Variations in Economic Theory became in the twentieth century due to studies of Ramsey (1928) and Hotelling (1931). Hotelling’s contribution is rather a foundation of environmental economics since he first introduces the problem of “optimal social value of an exhaustible resource” which in turn implies the exhaustion of the inputs used during the production process.In this section, we present dynamic economic models such as the dynamic monopoly model (Evans, 1924) and the model of adjustment of investment plans (Eisner and Strotz, 1963), and at the time we propose an unpublished dynamic model of consumption-investment.The historical evolution of the methodologies of dynamic Economics was rapid during the past century. Optimal control theory becomes the dominant method of dynamical economics due to its minimal cost of calculation (compared with the calculus of variations method). Problems interrelated with calculation costs are for example the fact that the differential equation that describes the motion of the state variable lies inside the maximized functional (in calculus of variations), while with the optimal control this variable's motion is treated with the simple introduction of two simple variables i.e., the control and the costate variables.Optimal control is based on the maximum principle founded by the work of Pontryagin (1952) and his associates, while there exists a little contribution by Hestness. In the second section of this first chapter, we give an economic interpretation of the variables involved in the maximum principle applied in a model of pollutants generation during the production process. We also propose a model in which a productive firm uses as inputs capital and an exhaustible resource that is mined. Moreover, we examine the stability of the equilibrium strategies in various proposed models of renewable resources. We continue with the method of Dynamic Programming which is the more complete therefore the more modern of the dynamic optimization methods. Dynamic programming is based on the principles of recursion and embodiment. The latter means that instead of finding the necessary conditions for the solution the methodology offers the necessary conditions in order to conclude that the dynamic problem that arose from the Hamiltion–Jacobi–Bellman (HJB) equation has a solution and therefore an optimal control. This methodology thanks to the way that faces a dynamic problem is suitable for feedback rules construction, therefore for a time consistent equilibrium strategies. The above feedback strategies are known as closed-loop strategies as well. In this section of that chapter, we moreover propose a model of monopolistic extraction of an exhaustible resource for which we found the feedback equilibrium strategies, which are in turn time consistent equilibrium strategies. In the same section, we propose a model of renewable resources extraction which is solved with an alternative way of the basic HJB equation, but with time-consistent equilibrium strategies again. We continue with the differential games in a separate chapter. As differential games we introduce these dynamic games which are evolved in continuous (instead of discrete) time. In the spirit of Dockner et al (2000) we introduce the notions of Nash equilibrium for this class of games. Then, we propose a differential game of non-renewable resources extraction among N players and we found the time-consistent equilibrium strategies for that game.Continuing with the games, we introduce the meaning of Stackelberg equilibrium in differential games and we found the conditions under which the latter hierarchical equilibrium achieves time consistency, a necessary property for the economic acceptability of the results. Moreover, we examine the important situation under which the two types of equilibrium (Nash and Stackelberg) coincide, i.e., the first mover advantage disappears. In order to clarify the above situation of equilibrium coincidence we propose a dynamic model of non-renewables extraction with a special structure of the objective functional at which, in the solution process, Nash and Stackelberg equilibrium coincide.The second part of this work proposes dynamic models concerning public economics, the economics of taxation, and environmental economics. Specifically, in the second part, we propose dynamic models from the field of exhaustible resources, dynamic models concerning how pollution influences the market factors, i.e. consumer surplus, the prices of the goods, and the demand elasticity. These models are related to the policies which every regulator can follow without any taxes imposed, as the incentives for private investments in green production are given through tax exemptions. The proposed models satisfy Nash or Stackelberg prerequisites of dynamical equilibrium. Special emphasis has been given to the notion of time consistency in order to extract economically acceptable conclusions. For the latter task, we make use of the HJB equation, which plays a central role during the solution process. The maximum principle is used as well in cases in which the players cooperate or in cases the regulator has the central role.In the third chapter, we propose a dynamic game model of extraction non-renewable resources, in which the players of the game are symmetric while the utility functions are related to partial or absolute risk aversion. We solve the above model and found the feedback (time consistent) strategies, and we extract some useful conclusions and formulate propositions in accordance with the economic theory.The second chapter of the second part of this work studies the implications of pollution in the market factors. Specifically, we propose a dynamic game of N oligopolistic firms in that they produce and sell a homogenous product for which the curvature of the inverse demand affects the demand elasticity, the consumer surplus, and also the reservation prices of that goods. The involved firms undertake counter-pollution activities in order to augment the market size through the reservation price. We found that the equilibrium strategies of both closed and open loops hinge upon demand curvature, while the free-riding problem emerged. Next, we study the regulatory policies over pollution in Cournot–Nash competition. We propose a non-linear quadratic game model of polluting firms and every polluting firm has at her disposal an allowed amount of pollutants that can emit, which is depending on the size of each firm. We solve the proposed model, and we found the closed-loop strategies which are time consistent. Specifically, we found that a marginal increment of pollutants is possible to yield decrement in the discounted revenues of the involved firms. Moreover, we found, that the discounted revenues of each firm are possible to increment if the total amount of the allowed pollution decrement.In the next chapter of this work, we propose incentives for investment in green production for a country according to several environmental conditions, e.g. the Kyoto condition. More precisely we propose a hierarchical (Stackelberg) dynamic game model at which the central planning announces first at the beginning of the game the tax factor for the polluting firms in order to promote counter-pollution actions. The firms, on the other side, invest in counter-pollution technologies having the incentive of tax exemption for this investment. We found that the above Stackelberg game not only produced time-consistent outcomes, but the has the subgame perfection property that is more strictly property, in economic terms, than time consistency. Finally, comparing the outcomes of the hierarchical game model with the outcomes of the social planning model we found that the social planning strategy is more effective than the game model strategies in the sense of social welfare, i.e. social planning brings more welfare to the citizens.The last chapter of this work is dedicated to the studies of pollution models as unified ecological-economic models. We propose a model in which the players are producers of agricultural products which maximize their utility by making use of polluting inputs, i.e. polluting fertilizers and some chemicals. These actions of the farmers conflict with groups of citizens which are they wish for clean environmental quality. Special attention has been made to the pollutant's internal feedback according to the literature of the last five years. We examine the optimal tax levy in the case of public counter-pollution

Περίληψη.Το πρώτο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στις μεθοδολογίες των Δυναμικών Οικονομικών. Ξεκινώντας τη μελέτη των μεθοδολογιών των Δυναμικών Οικονομικών μελετούμε κατά αύξουσα σειρά σημαντικότητας, αλλά και χρονολογική σειρά τις γνωστές μέχρι σήμερα μεθόδους δηλαδή τον Λογισμό Μεταβολών, το Βέλτιστο Έλεγχο, το Δυναμικό Προγραμματισμό, μεθόδους που αφορούν τη Δυναμική Οικονομική Βελτιστοποίηση δηλαδή προβλήματα βελτιστοποίησης (ή αριστοποίησης) ενός μόνο Οικονομικά δρώντα ή μιας ομάδας δρώντων που συνεργάζεται και τα Διαφορικά Παίγνια πού εφαρμόζονται σε καταστάσεις περισσότερων του ενός Οικονομικά εμπλεκόμενων ατόμων ή ομάδας ατόμων με αλληλοσυγκρουόμενα συμφέροντα, όπου κάθε άτομο ή ομάδα ατόμων που μετέχει στο παίγνιο βελτιστοποιεί την αμοιβή του. Ο Λογισμός Μεταβολών (Calculus of Variations) είναι ένας κλασικός κλάδος των μαθηματικών πού έχει τις ρίζες του σε μελέτες των αρχαίων Ελλήνων ήταν γνωστός τότε ως «ισοπεριμετρική ανισότητα». Στη συνέχεια η ανάπτυξη της μεθόδου απέδωσε λύσεις σε προβλήματα της γεωμετρικής οπτικής (Fermat, 1662) και στα προβλήματα κίνησης των σωμάτων εντός των υγρών (Newton, 1685) όπως και στο πρόβλημα του βραδυστόχρονου (brachistochrone) (Γαλιλαίος, 1638). Μόλις στις αρχές του περασμένου αιώνα ο Λογισμός Μεταβολών εισήχθη στην Οικονομική Θεωρία με τις μελέτες των Ramsey (1928) και του Hotelling (1931). Η συνεισφορά του Hotelling είναι μάλλον η απαρχή των Οικονομικών του Περιβάλλοντος, καθόσον εισάγεται το πρόβλημα «της βέλτιστης κοινωνικής αξίας μιας εξαντλούμενης εισροής» υπονοώντας την εξαντλησιμότητα των χρησιμοποιούμενων εισροών στη παραγωγική διαδικασία. Στο τμήμα αυτό του πρώτου κεφαλαίου μελετούμε και επεκτείνουμε υπάρχοντα και μη δυναμικά οικονομικά υποδείγματα όπως είναι το Δυναμικό Υπόδειγμα του Μονοπωλίου (Evans, 1924) και το Υπόδειγμα Προσαρμογής Επενδυτικών Σχεδίων (Eisner and Strotz, 1963), ενώ προτείνουμε ένα υπόδειγμα κατανάλωσης – επένδυσης.Η ιστορική εξέλιξη των Δυναμικών Οικονομικών Μεθοδολογιών ήταν ραγδαία τον προηγούμενο αιώνα. Ο Βέλτιστος Έλεγχος (Optimal Control) έρχεται να διαδεχθεί στα μέσα του 20ου αιώνα το Λογισμό Μεταβολών στο πεδίο των Δυναμικών Οικονομικών απλοποιώντας σημαντικά το υπολογιστικό κόστος. Οι περιορισμοί πού τίθενται από το Λογισμό Μεταβολών, όπως για παράδειγμα το γεγονός ότι η διαφορική εξίσωση πού περιγράφει την κίνηση της μεταβλητής κατάστασης τίθεται εντός του μεγιστοποιημένου συναρτησιακού αντιμετωπίζεται πιο αποτελεσματικά από τον Βέλτιστο Έλεγχο με την εισαγωγή των μεταβλητών ελέγχου (control variables) και της βοηθητικής (costate) μεταβλητής. Ο Βέλτιστος Έλεγχος βασίζεται στην Αρχή του Μέγιστου (Maximum Principle) πού θεμελιώθηκε εξ ολοκλήρου από τις εργασίες του Pontryagin (1952) και των συνεργατών του, αν και σαφείς σχεδόν ταυτόχρονες συνεισφορές υπάρχουν από τον Hestness. Στο δεύτερο αυτό τμήμα του πρώτου Κεφαλαίου δίνουμε μια Οικονομική Ερμηνεία των μεταβλητών της Αρχής του Μέγιστου σε ένα υπόδειγμα ρύπανσης που αποθέτει μια επιχείρηση κατά την παραγωγική της διαδικασία. Επίσης προτείνουμε ένα υπόδειγμα μιας επιχείρησης που χρησιμοποιεί κατά την παραγωγική της διαδικασία τη συνήθη εισροή «κεφάλαιο» και ένα εξαντλούμενο πόρο που εξορύσσεται, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι η μεθοδολογία του Βέλτιστου Ελέγχου είναι σε θέση να χειριστεί επιτυχώς πολλαπλές μεταβλητές κατάστασης και ελέγχου. Ακόμα εξετάζουμε την ευστάθεια των λύσεων της ισορροπίας για τη μεθοδολογία αυτή σε δύο διαφορετικά προτεινόμενα υποδείγματα εξόρυξης ανανεώσιμων πόρων.Η τελευταία και πληρέστερη κατά τη γνώμη μας εκ των μεθοδολογιών της Δυναμικής Βελτιστοποίησης πού εξετάζεται στη παρούσα διατριβή είναι αυτή του Δυναμικού Προγραμματισμού (Dynamic Programming). Η μεθοδολογία βασίζεται στις αρχές της επανάληψης και της ενσωμάτωσης. Το τελευταίο απλώς σημαίνει ότι αντί της εύρεσης των αναγκαίων συνθηκών η μεθοδολογία παρέχει τις αναγκαίες συνθήκες για να συμπεράνουμε ότι το προς επίλυση Δυναμικό Πρόβλημα που δίνεται από τη βασική εξίσωση Hamilton – Jacobi – Bellman (HJB) έχει μια λύση και συνεπώς ένα βέλτιστο έλεγχο. Η μεθοδολογία λόγω ακριβώς του τρόπου αντιμετώπισης ενός Δυναμικού Προβλήματος χρησιμοποιείται για την κατασκευή ανατροφοδοτούμενων κανόνων (feedback rules) και εφόσον η ισορροπία του εξεταζόμενου Δυναμικού Υποδείγματος είναι δυνατόν εξευρεθεί, τότε η ισορροπία είναι χρονικά συνεπής. Οι λύσεις ισορροπίας με τη μεθοδολογία του Δυναμικού Προγραμματισμού συναντώνται στην αρθρογραφία με ονομασίες όπως ανατροφοδοτούμενες (feedback), Markovian ή κλειστού βρόχου (closed loop). Στο παρόν τμήμα του Κεφαλαίου αυτού προτείνουμε ένα υπόδειγμα μονοπωλιακής εξόρυξης ενός μη ανανεώσιμου πόρου που χρησιμοποιεί Markovian στρατηγικές, συνεπώς η ευρισκόμενη ισορροπία έχει το χαρακτηριστικό της χρονικής συνέπειας. Ακόμα παρουσιάζουμε μια εναλλακτική μορφή της βασικής HJB εξίσωσης του Δυναμικού Προγραμματισμού και προτείνουμε ένα υπόδειγμα μεγιστοποίησης εξόρυξης ανανεώσιμων πόρων, που το λύνουμε με την εναλλακτική μορφή της βασικής εξίσωσης, αποφέροντας χρονικά συνεπείς στρατηγικές ισορροπίας.Στη συνέχεια θεωρούμε σκόπιμο να θέσουμε σε ξεχωριστό κεφάλαιο τα Διαφορικά Παίγνια. Ως διαφορικά παίγνια έχουμε ορίσει τα δυναμικά εκείνα παίγνια πού εξελίσσονται σε συνεχή χρόνο. Δίνουμε τις έννοιες της Nash ισορροπίας για αυτή την τάξη των παιγνίων, όπως έχει προταθεί από τους Dockner et al. (2000). Προτείνουμε ένα παίγνιο εξόρυξης μη ανανεώσιμων πόρων μεταξύ N μετεχόντων παικτών και βρίσκουμε τη χρονικά συνεπή ισορροπία του παιγνίου. Στη συνέχεια του κεφαλαίου εξετάζουμε τη Stackelberg ισορροπία και βρίσκουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η ισορροπία οδηγού – ακόλουθου αποφέρει επιθυμητά χρονικά συνεπή αποτελέσματα, συνεπώς Οικονομικά αποδεκτά [ ] αποτελέσματα. Μελετούμε τέλος το εξίσου σημαντικό θέμα του κάτω υπό ποιες συνθήκες υπάρχει ταύτιση των δύο ισορροπιών Nash και Stackelberg, συνεπώς κάτω υπό ποιες συνθήκες ή κάτω υπό ποια δομή του αντικειμενικού συναρτησιακού το πλεονέκτημα του πρώτου κινηθέντα (first mover advantage) εξαφανίζεται. Προτείνουμε τελικά ένα υπόδειγμα εξόρυξης μη ανανεώσιμων πόρων με μια ιδιαίτερη δομή του αντικειμενικού συναρτησιακού πού το παραπάνω αναφερθέν πλεονέκτημα του πρώτου κινηθέντα δεν υπάρχει (οι ισορροπίες Nash και Stackelberg ταυτίζονται).Η μεγαλύτερη συνεισφορά αυτής της διατριβής φιλοδοξεί να είναι το δεύτερό της μέρος που πραγματεύεται με τα Δημόσια Οικονομικά και τη φορολόγηση σε Δυναμικά Υποδείγματα. Στο δεύτερο αυτό μέρος της διατριβής προτείνονται υποδείγματα από το πεδίο των Δημόσιων Οικονομικών δηλαδή των εξαντλούμενων πόρων, υποδείγματα για το πώς η ρύπανση επηρεάζει τους παράγοντες της αγοράς δηλαδή το πλεόνασμα των καταναλωτών τις τιμές των διαθέσιμων αγαθών και την ελαστικότητα της ζήτησης, υποδείγματα για τις πολιτικές που μπορεί ο λήπτης αποφάσεων να ακολουθήσει με την επιβολή φόρων και τέλος των κινήτρων για ιδιωτικές επενδύσεις σε «πράσινη» παραγωγή που δίνονται από τον κεντρικό σχεδιασμό μέσω της φοροαπαλλαγής των επενδύσεων σε «πράσινη» παραγωγή. Τα υποδείγματα που προτείνονται ικανοποιούν είτε τις Nash είτε τις Stackelberg απαιτήσεις δυναμικής ισορροπίας. Ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στη χρονική συνέπεια, με την έννοια που της αποδίδεται από την Οικονομική αρθρογραφία, φροντίζοντας πάντοτε να εξάγονται χρονικά συνεπή αποτελέσματα με την αυστηρή έννοια του όρου. Εδώ η εξίσωση του Δυναμικού Προγραμματισμού των Hamilton – Jacobi – Bellman παίζει τον κεντρικό ρόλο στην επίλυση των υποδειγμάτων, όπως έχει αναλυθεί στο πρώτο μέρος. Επίσης χρησιμοποιείται η Αρχή του Μέγιστου του Pontryagin όταν χρειάζεται να υπολογιστούν οι συνεργασιακές καταστάσεις των προτεινόμενων υποδειγμάτων ή όταν ο υπεύθυνος λήψης απόφασης λαμβάνει τις αποφάσεις του κεντρικού σχεδιασμού. Η Αρχή του Μέγιστου και ο Βέλτιστος Έλεγχος αναλύθηκαν διεξοδικά επίσης στο πρώτο μέρος της παρούσας.Το τρίτο κατά σειρά κεφάλαιο και πρώτο του μέρους προτείνει ένα υπόδειγμα Δημόσιων Οικονομικών (εξόρυξης εξαντλούμενων πόρων) με συμμετρικούς μετέχοντες παίκτες, ενώ οι συναρτήσεις χρησιμότητας που εξετάζονται σχετίζονται με τη μερική αποστροφή κινδύνου ή την απόλυτη αποστροφή σ’ αυτόν. Βρίσκουμε τις Markovian (χρονικά συνεπείς) στρατηγικές και εξάγουμε συμπεράσματα και προτάσεις Οικονομικής Θεωρίας.Το δεύτερο κεφάλαιο του μέρους μελετά τις επιπτώσεις της ρύπανσης στους παράγοντες της αγοράς. Συγκεκριμένα εξετάζουμε το παίγνιο N ολογοπωλιακών επιχειρήσεων πού παράγουν και πωλούν ένα ομογενές προϊόν για το οποίο η καμπυλότητα της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης επηρεάζει την ελαστικότητα αυτής, το πλεόνασμα των καταναλωτών και την τιμή διαφύλαξης (reservation price) αυτών. Οι μετέχουσες επιχειρήσεις αναλαμβάνουν αντιρρυπαντικές δραστηριότητες στη προσπάθειά τους να επαυξήσουν το μέγεθος της αγοράς μέσω της τιμής διαφύλαξης των καταναλωτών. Βρίσκουμε ότι οι αναλυόμενες ισορροπίες ανοικτού και κλειστού βρόχου έχουν σημαντική εξάρτηση από την καμπυλότητα της συνάρτησης ζήτησης του αγαθού, ενώ αναδύεται το γνωστό πρόβλημα του «ελεύθερου καβαλάρη» (free riding problem).Συνεχίζοντας επί των Δημόσιων Οικονομικών, εξετάζουμε πολιτικές φορολόγησης επί της ρύπανσης σε Cournot – Nash ανταγωνισμό μεταξύ των επιχειρήσεων. Προτείνουμε ένα υπόδειγμα ρυπαινουσών επιχειρήσεων που δεν είναι δευτεροβάθμιο γραμμικό παίγνιο και σε κάθε μια εκ των επιχειρήσεων έχει εκχωρηθεί από τον υπεύθυνο λήψης αποφάσεων ένα επιτρεπόμενο ποσό ρύπανσης που εξαρτάται για παράδειγμα από το μέγεθος της κάθε μιας επιχείρησης. Βρίσκουμε κατ’ αρχή τις Markovian χρονικά συνεπείς στρατηγικές των επιχειρήσεων που εφαρμόζουν κατά την ισορροπία του παιγνίου και εξετάζουμε τις πολιτικές επί του επιτρεπόμενου αποθέματος ρύπανσης. Βρίσκουμε ότι μια οριακή αύξηση στο απόθεμα των ρύπων είναι δυνατόν να επιφέρει μείωση στα προεξοφλημένα ακαθάριστα έσοδα των επιχειρήσεων. Επίσης βρίσκουμε ότι μια αναδιανομή των επιτρεπόμενων ρύπων μπορεί να αντιστρέψει την φορά διάταξης των οριακών ακαθάριστων εσόδων των επιχειρήσεων. Ακόμα ότι τα προεξοφλημένα έσοδα των επιχειρήσεων μπορεί να αυξηθούν αν το συνολικό απόθεμα της επιτρεπόμενης ρύπανσης μειωθεί.Στο επόμενο κεφάλαιο αυτής της διατριβής προτείνουμε επενδυτικά κίνητρα πράσινης παραγωγής, μέσω φοροαπαλλαγών, για μια χώρα που είναι υπόχρεη στις διάφορες περιβαλλοντικές συνθήκες, όπως αυτή του Kyoto. Συγκεκριμένα προτείνουμε ένα Stackelberg δυναμικό υπόδειγμα φορολόγησης όπου ο κυβερνητικός σχεδιασμός αναγγέλλει στην αρχή του επαγόμενου παιγνίου ένα φορολογικό συντελεστή σε ρυπαίνουσες επιχειρήσεις με σκοπό να διαβιβάσει τα συλλεγόμενα φορολογικά έσοδα σε δημόσια αγαθά απορρύπανσης. Οι επιχειρήσεις από τη μεριά τους επενδύουν σε αντιρρυπαντικές τεχνολογίες έχοντας το κίνητρο της φοροαπαλλαγής της επένδυσης που πραγματοποιούν. Βρίσκουμε ότι το Stackelberg παίγνιο κυβερνητικού σχεδιασμού – επιχειρήσεων αποφέρει όχι μόνο χρονικά συνεπή αποτελέσματα αλλά και ότι η ισορροπία είναι τέλεια υποπαιγνίου ιδιότητα πιο αυστηρή από αυτή της χρονικής ασυνέπειας. Συγκρίνοντας τέλος τα αποτελέσματα βρίσκουμε ότι ο κοινωνικός σχεδιασμός παράγει περισσότερο αποδοτικά αποτελέσματα, υπό την έννοια της ευημερίας.Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής αφιερώνεται στις σημερινές τάσεις μελέτης των υποδειγμάτων περιβαλλοντικής ρύπανσης ως ενοποιημένα οικολογικά – οικονομικά υποδείγματα. Προτείνεται ένα υπόδειγμα παραγωγών αγροτικών προϊόντων, με και χωρίς φορολόγηση, πού μεγιστοποιούν τη χρησιμότητά τους από τη χρήση ρυπογόνων εισροών. Οι ενέργειες των παραγωγών συγκρούονται με τις ομάδες εκείνες πού επιθυμούν την καθαρότητα των υπόγειων υδάτων πού μολύνονται από τη χρήση των εισροών των παραγωγών. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στις εσωτερικές ανατροφοδοτήσεις των ρύπων ένα ξεχωριστό θέμα αρθρογραφίας της τελευταίας πενταετίας (Brock and Starett, 2003; Maler, Xepapadeas and DeZeeuw, 2003, Kossioris et al., 2007). Εξετάζουμε την επιβολή βέλτιστων φορολογικών συντελεστών σε προγράμματα δημόσιας απορρύπανσης, ενώ εξάγονται οι καμπύλες των λύσεων των εξεταζόμενων υποδειγμάτων.