Χάος στην κλασική μηχανική και στη γενική θεωρία της σχετικότητας

Abstract

The central idea behind this thesis is the investigation of methods to detect and quantify chaos in contemporary interesting systems. These systems come from the field of Classical Mechanics and from the field of General Relativity. This investigation is based on indices of chaos. The aim is not only to check an index sensitivity in detecting chaotic regions in the phase space, but to test its abilities in discerning the phase space structures. The first part of the thesis introduces basic theoretical elements of dynamical systems, the concept of chaos and the ways chaos is detected and quantified in the classical mechanics framework. After the relation of chaos and entropy is discussed, the study focuses on how the indexes of chaos correlate with Tsallis entropy. This correlation leads to a new chaos index and application of this index are discussed in the classical mechanics framework. The second part of the thesis starts with a brief introduction to General Relativity. This introduction is followed by an investigation of geodesic motion in a spacetime background of a compact object. This investigation discusses the frequencies of gravitational waves emitted during the inspiral of a stellar compact object into the background of a suppermassive compact object. The main finding of this investigation is that phenomena correlated with chaos can be used as a criterion to identify the nature of the central supermassive object by gravitational wave detectors.The last part of the thesis discusses the Einstein equations when the Robertson-Walker metric is coupled with a scalar field. It is investigated whether such coupling can provide answers to basic cosmological problems, and indications of chaotic scattering are detected.

Η κεντρική ιδέα στην οποία βασίζεται η διατριβή είναι η αναζήτηση μεθόδων εντοπισμού και ποσοτικοποίησης του χάους σε συστήματα σύγχρονου φυσικού ενδιαφέροντος. Τα συστήματα αυτά αντλούνται από το χώρο αφενός τηςΚλασικής Μηχανικής και αφετέρου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Η αναζήτηση και η ποσοτικοποίηση του χάους πραγματοποιείται μέσα από δείκτες χαοτικότητας. Στόχος είναι ο έλεγχος όχι μόνο της ευαισθησίας ενός δείκτη στον εντοπισμό χαοτικών περιοχών στο χώρο των φάσεων, αλλάκαι της δυνατότητάς του να ξεχωρίζει τις δομές του χώρου των φάσεων όπου εμφανίζεται το χάος. Στο πτώτο μέρος εισάγονται βασικά στοιχεία των δυναμικών συστημάτων, η έννοια του χάους και οι τρόποι που το χάος ανιχνεύεται και ποσοτικοποιείται στην κλασική μηχανική . Ακολούθως, αναλύεται πώς το χάος σχετίζεται με την έννοια της εντροπίας. Η μελέτη εστιάζεται στη συσχέτιση χαοτικών δεικτών με τη λεγόμενη εντροπία κατά Τσάλλη. Βάσει της συσχέτισης αυτής ορίζεται ένας καινούργιος δείκτης χαοτικότητας, εφαρμογές του οποίου αναπτύσσονται στα πλαίσια κλασικών δυναμικών συστημάτων.Στο δεύτερο μέρος, μετά από μία συνοπτική εισαγωγή στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, εξετάζεται η κίνηση σε χωροχρονικό υπόβαθρο που έχει σχηματιστεί γύρω από ένα αστρικό αντικείμενο μεγάλης μάζας. Η εξέταση αυτή αποσκοπεί στη μελέτη των συχνοτήτων των βαρυτικών κυμάτων που εκπέμπονται κατά τη σπειροειδή κίνηση ενός μικρού αντικειμένου γύρω από μία μεγάλη μάζα. Το κυριότερο συμπέρασμα που προκύπτει από τη μελέτη αυτή είναι ότι φαινόμενα που συνδέονται με το χάος αναδεικνύονται σε κριτήριο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τους ανιχνευτές βαρυτικών κυμάτων για την ταυτοποίηση της φύσης του κεντρικού αντικειμένου μεγάλης μάζας.Στο τελευταίο μέρος της διατριβής εξετάζονται οι εξισώσεις πεδίου τουEinstein κατά τη σύζευξη της μετρικής Robertson-Walker με βαθμωτό πεδίο. Η σύζευξη αυτή πραγματοποιείται για να διερευνηθεί αν τα συστήματα της μορφής αυτής μπορούν να απαντήσουν σε βασικά κοσμολογικά ερωτήματα, ενώ υπάρχουν ενδείξεις βασισμένες στους δείκτες χαοτικότητας για την παρουσία χάους στα συστήματα αυτά.