Υπολογιστικές μέθοδοι συνήθων διαφορικών εξισώσεων με περιοδική συμπεριφορά της λύσης

Abstract

The present thesis focuses on the investigation of the numerical solution of second order ordinary differential equations, with oscillating solutions. For the numerical integration of these equations, explicit Runge–Kutta–Nyström methods are developed.At first, an optimized method is derived, with fourth algebraic order and phase-lag of order infinity. The new method, along with other methods which minimize or nullify the phase-lag, is applied to four known problems with oscillating solutions.Afterwards, a fourth algebraic order method is derived, which combines the properties of the phase-lag and the amplification error, for the numerical integration of the radial one-dimensional time-independent Schrödinger equation. Then we compare the results derived from the new method, to those of other methods while numerically integrating the Schrödinger equation.Finally, by nullifying the derivatives of the phase lag and the amplification error, a new method of fourth algebraic order is constructed. The numerical results indicate that the new method is much more efficient than other methods, for the numerical solution of the Schrödinger equation and related problems.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η αριθμητική επίλυση, δευτέρου βαθμού συνήθων διαφορικών εξισώσεων με λύση ταλαντωτικής μορφής. Για την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων αυτών, αναπτύσσονται άμεσες μέθοδοι Runge–Kutta–Nyström.Αρχικά, παράγεται μια βελτιστοποιημένη μέθοδος τέταρτης αλγεβρικής τάξης με άπειρη τάξη υστέρηση φάσης. Η νέα μέθοδος που προκύπτει, μαζί με άλλες μεθόδους που κάνουν χρήση της ιδιότητας της ελάχιστης ή μηδενικής υστέρησης φάσης, εφαρμόζονται σε τέσσερα γνωστά προβλήματα με ταλαντωτική λύση.Στη συνέχεια αναπτύσσεται μια μέθοδος τέταρτης τάξης, που συνδυάζει τις ιδιότητες της μηδενικής υστέρησης φάσης και μηδενικής απώλειας, για την αριθμητική ολοκλήρωση της ανεξάρτητης του χρόνου, μονοδιάστατης εξίσωσης Schrödinger. Κατόπιν γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων που εξήχθησαν με αυτά άλλων μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την αριθμητική επίλυση της Schrödinger.Τέλος με τον μηδενισμό των παραγώγων της υστέρησης φάσης και της απώλειας, κατασκευάζεται μια νέα μέθοδος τέταρτης τάξης. Τα αριθμητικά αποτελέσματα φανερώνουν ότι η νέα μέθοδος είναι πολύ πιο αποδοτική, σε σύγκριση με άλλες μεθόδους, για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Schrödinger και συναφών προβλημάτων.