Θέματα τοπολογικής και μετρήσιμης δυναμικής απεικονίσεων διαστημάτων

Abstract

In this thesis we study one-dimensional dynamics. That is we study the iterations of interval maps. We prove that every piecewise monotone interval map which is expanding and satisfies a Markov condition is topologically conjugate with one piecewise linear interval map. Furthermore if the map is continuous we calculate the topological entropy. Finally we give a complete description of the dynamics of a piecewise linear map with two brances: one expanding and one contracting.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε θέματα μονοδιάστατης δυναμικής. Με τον όρο μονοδιάστατη δυναμική εννοούμε τη δυναμική που προκύπτει από τις επαναλήψεις μιας συνάρτησης που απεικονίζει ένα διάστημα των πραγματικών αριθμών στον εαυτό του. Αποδεικνύουμε ότι μια κατά τμήματα μονότονη, επεκτατική συνάρτηση που πληροί τη συνθήκη Markov είναι τοπολογικά ισοδύναμη με μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση. Αν επιπλέον η συνάρτηση είναι συνεχής τότε δίνουμε μια μέθοδο υπολογισμού της τοπολογικής εντροπίας. Ακόμη δίνουμε μια πλήρη περιγραφή της δυναμικής που προκύπτει από τις επαναλήψεις μιας συνάρτησης που είναι κατά τμήματα γραμμική και αποτελείται από δύο κλάδους: έναν επεκτατικό και ένα συσταλτικό.