Η μέθοδος collocation για παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης: στην κατεύθυνση προσομοίωσης καρκινικών όγκων εγκεφάλου

Abstract

This thesis investigates the properties and behavior of the Collocation finite element method for the discretization and the solution οf applications problems inareas of Engineering and Medicine. The Collocation method uses Hermite cubic elements to achieve approximations of high order accurancy.The basic mathematical model for the description of the problems in the area of Engineering are characterized by periodic boundary conditions (e.g motion of planets, wave propagation, stability of elastic systems). For these problems we used a Hermite cubic collocation method and studied the conditions which guarantee the optimal convergence of iterative methods for solving the corresponding algebraic system by means of the theory of p-cyclic matrices. At the same time spectral quantities are associated with the initial data of the model for the a priori determination of the optimal partitions of the Collocation matrix. Gliomas are especially aggressive malignant forms of primary brain tumors, and the prognosis for the patients with high-grade gliomas is generally very poor. The most common problem in diagnosis and treatment of patients with glioma is the rapid infiltration of tumor cells in adjacent normal tissue. Mathematical models based on experimental data from MRI and CT scans were developed to quantify the biological concepts and to simulate the evolution of a cancerous brain tumor. The basic characteristic of the mathematical models to simulate the diffusion of gliomas is the discontinuity of the diffusion coefficient in areas of heterogeneous interfaces (white and grey matter). For these problems we introduced new discontinuous Hermite elements which do not change the order of convergence of the collocation method. For time discretization Backward Euler and Crank Nicolson schemes are effectively employed.We also produced for these problems a novel analytical integration method based on Fokas’s transform method. The significant advantage of this method in comparison with the classical numerical techniques is that the analytical solution can be evaluated at any point of space-time domain without requiring any knowledge of the solution at any other point of the domain.

Η παρούσα διατριβή ερευνά τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά της μεθόδου Collocation των πεπερασμένων στοιχείων όταν χρησιμοποιείται γιατη διακριτοποίηση και επίλυση προβλημάτων εφαρμογών από περιοχές της Μηχανικής και της Ιατρικής. Η Collocation μέθοδος υποστηρίζεταιαπό κυβικά στοιχεία Hermite για την επίτευξη προσεγγίσεων υψηλής ακρίβειας.Το βασικό μαθηματικό μοντέλο για τη περιγραφή των προβλημάτων Μηχανικής χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη περιοδικών συνοριακών συνθηκών (βλ. κίνηση πλανητών, διάδοση κυμάτων, σταθερότητα ελαστικών συστημάτων). Για τα προβλήματα αυτά αναπτύσσεται η κυβική Hermite Collocation και μελετώνται οι συνθήκες που διασφαλίζουν τη βέλτιστη σύγκλιση επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης του αντίστοιχου αλγεβρικού συστήματος μέσω της θεωρίας των p-cyclic πινάκων. Παράλληλα φασματικές ποσότητες συνδέονται με τα αρχικά δεδομένα του μοντέλου για τoν a-priori καθορισμό βέλτιστων διαμερίσεων του Collocation πίνακα.Τα γλοιώματα αποτελούν τους σοβαρότερους και πιο συχνούς καρκινικούς όγκους του εγκεφάλου και οι ασθενείς έχουν συνήθως χαμηλό προσδόκοιμο επιβίωσης. Το πιο συχνό πρόβλημα στη διάγνωση και θεραπεία των ασθενών με γλοίωμα είναι η ταχύτατη διήθηση των καρκινικών κυττάρων σε γειτονικό φυσιολογικό ιστό. Μαθηματικά μοντέλα, που στηρίζονται σε πειραματικά δεδομένα από μαγνητικές και αξονικές τομογραφίες δημιουργήθηκαν για να ποσοτικοποιήσουν τις βιολογικές έννοιες και να προσομοιάσουν την εξέλιξη ενός καρκινικού όγκου στον εγκέφαλο. Βασικό χαρακτηριστικό του μαθηματικού μοντέλου για την προσομοίωση της διάχυσης των γλοιωμάτων αποτελεί η ασυνέχεια που εμφανίζει ο συντελεστής διάχυσης στα σημεία διεπαφής ετερογενών περιοχών (λευκή και φαιά ουσία). Για τα προβλήματα αυτά εισάγονται νεα ασυνεχή στοιχεία Hermite τα οποία δεν διαταράσσουν την τάξη σύγκλισης της μεθόδου collocation. Η συνολική διακριτοποίηση συμπληρώνεται με σχήματα Backward Euler και Crank Nicolson.Για τα προβλήματα αυτά αναπτύσσεται παράλληλα και μια καινοτόμος αναλυτική αριθμητική μέθοδος ολοκλήρωσης η οποία βασίζεται στην μέθοδο μετασχηματισμού Φωκά. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου σε σχέση με τις κλασσικές αριθμητικές μεθόδους είναι ότι η λύση του προβλήματος βρίσκεται απευθείας μέσω ολοκληρωμάτων σε οποιαδήποτε σημείο (x,t) χωρίς να απαιτούνται περαιτέρω υπολογισμοί σε ενδιάμεσα χρονικά στάδια.