Θεωρία διήθησης και μεταβολές φάσης

Abstract

Throughout the present thesis, different physical systems are investigated. These systems are controlled by phenomena such as crystal growth, stress energy, diffusion, phase transitions. Despite their diverse nature, all these systems are studied by means of percolation theory and its variations. Most of the effort invested on this thesis, was carried out by computational modeling, but whenever it was feasible, analytical and experimental results were also taken into account. The first chapter is introductory to percolation theory and phase transitions. At first, percolation is studied from a theoretical aspect and basic notions are explained. Examples of applications to different disciplines are presented along with the corresponding phase transitions that take place. Moreover, variations of the standard percolation theory are introduced, such as rigidity percolation, especially since they are implemented in the study of the physical systems, which are investigated in the present thesis. Then, computational methods for the simulation of percolation are presented. A short introduction to Monte Carlo methods is followed by a more detailed presentation of algorithms, such as the Hoshen-Kopelman one and Depth First Search. These algorithms are essential for deriving key physical properties, which help us describe the systems under investigation. At each one of the next four chapters, a different physical problem is dealt with. In the 2nd chapter, the main concepts are crystal growth, stress energy and rigidity percolation. It is extremely encouraging that the results of the simulations which took place coincided with the experimental ones, thus providing a valid confirmation of our research. In the 3rd chapter, the diffusion of a tracer particle is monitored within a grid of floppy and rigid regions. In the fourth chapter, a system of growing islands is investigated. Staring from a random seed, the initial site grows along its periphery and this growth stops when it touches a neighboring growing site. According to the results of the simulations and the ones derived from the implementation of the scaling theory, it has been made clear that this problem belongs to a new universality class, which is different from that of the simple percolation problem. In chapter 5, the problem studied is not quite relevant with percolation theory, since the notion of negative diffusion was studied. This was an extra problem during the preparation of this thesis, which aimed at offering to the author of this thesis an insight to different physical problems. The philosophy of chapter 6 is different from the one of the previous chapters. Instead of using simulations in order to study physical systems, a simple percolation model is used in order to investigate the robustness, the efficiency and the speed of a parallel Hoshen-Kopelman algorithm. Message Passing Interface (MPI) was engaged for the implementation of the parallel program. The thesis resulted in five publications in peer reviewed magazines with international referees.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή εξετάζονται διάφορα φυσικά συστήματα. Στα συστήματα αυτά κυριαρχούν φαινόμενα όπως η κρυσταλική ανάπτυξη, η ενέργεια τάσης, η διάχυση και οι μεταβολές φάσης. Παρά την διάκριτη τους φύση, όλα αυτά τα συστήματα μελετώνται με τη βοήθεια της θεωρίας της διήθησης και των παραλλαγών της. Οι κυριότερες ερευνητικές προσπάθειες στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, έλαβαν χώρα κάτα κύριο λόγο με την αξιοποίηση των κατάλληλων υπολογιστικών προσομοιώσεων, εντούτοις, στις περιπτώσεις που αυτό ήταν δυνατό, τα συγκεκριμένα αποτελέσματα ήρθαν σε αντιπαραβολή με αντίστοιχα που προέκυψαν θεωρητικά ή και πειραματικά. Στο πρώτο κεφάλαιο επιχειρείται μία εισαγωγή στην θεωρία της διήθησης και στις μεταβολές φάσης. Αρχικά η διήθηση μελετάται από μία θεωρητική πτυχή ενώ εισαγάγονται και οι βασικές της έννοιες. Παράλληλα παρουσιάζονται εφαρμογές σε διαφορετικούς ερευνητικούς τομείς καθώς και οι επακόλουθες μεταβολές φάσης που συμβαίνουν. Επιπλέον, γίνονται αναφορές σε παραλλαγές της βασικής θεωρίας της διήθησης, όπως είναι η διήθηση ακαμψίας, που χρησιμοποιείται εκτενώς για τη μελέτη φυσικών συστημάτων που μελετώνται στην παρούσα διατριβή. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται υπολογιστικές μέθοδοι για την προσομοίωση της διήθησης. Μία σύντομη εισαγωγή στις μεθόδους Monte Carlo ακολουθείται από μία λεπτομερέστερη παρουσίαση των αλγορίθμων Hoshen-Kopelman και Depth First Search. Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι εξαιρετικά χρήσιμοι για τον υπολογισμό σημαντικών φυσικών μεγεθών, που επιτρέπουν την πληρέστερη περιγραφή των υπό μελέτη συστημάτων. Σε καθένα από τα επόμενα τέσσερα κεφάλαια, γίνεται λόγος για διαφορετικά φυσικά προβλήματα. Στο κεφάλαιο 2, οι κύριες έννοιες είναι αυτές της κρυσταλλικής ανάπτυξης, της ενέργειας τάσης και της διήθησης ακαμψίας. Είναι ιδιαίτερα ενθαρρυντικό το γεγονός ότι τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που έλαβαν χώρα, ταυτίζονται με τα αντίστοιχα πειραματικά, επιτρέποντας την άμεση επιβεβαίωση της έρευνας μας. Στο κεφάλαιο 3, παρακολουθείται η διαδικασία της διάχυσης ενός πρότυπου σωματιδίου ίχνους ανάμεσα σε άκαμπτες (rigid) και χαλαρές (floppy) περιοχές. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετήθηκε ένα σύστημα διαρκώς αυξανόμενων νησίδων. Ξεκινώντας από ένα αρχικά τυχαίο σπόρο (seed), θεωρούμε ότι αυτό το αρχικό μεμονωμένο σημείο αρχίζει και επεκτέινται αυξάνοντας ομοιόμορφα την περιφέρειά του. Η επέκταση αυτή διακόπτεται οριστικά μόλις έρθει σε επαφή με κάποια άλλη νησίδα. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις προσομοιώσεις και την θεωρία κλίμακας, είναι πλέον φανερό ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα που ανήκει σε μία νέα τάξη οικουμενικότητας (universality class), που διαφέρει από την αντίστοιχη του απλού προβλήματος της διήθησης. Στο κεφάλαιο 5, το υπό μελέτη πρόβλημα δεν σχετίζεται με τη θεωρία της διήθησης, καθώς δόθηκε έμφαση στη μελέτη της αρνητικής διάχυσης. Πρόκειται για ένα επιπλέον πρόβλημα που προέκυψε κατά την προετοιμασία της παρούσας θέσης, με κύριο σκοπό το να προσφέρει μία ματιά σε διαφορετικής φύσεως προβλήματα. Η φιλοσοφία του κεφαλαίου 6 διαφέρει από αυτή των προηγούμενων κεφαλαίων, καθώς υπάρχει μία αντιστροφή των λειτουργιών. Αντί να χρησιμοποιήσουμε προσομοιώσεις για να μελετήσουμε φυσικά συστήματα, ένα απλό μοντέλο διήθησης χρησιμοποιείται για να διερευνηθεί η ικανότητα, η αποτελεσματικότητα και η ταχύτητα ενός παράλληλου αλγορίθμου Hoshen-Kopelman. To πρωτόκολλο MPI εφαρμόστηκε για την ολοκλήρωση του παράλληλου προγράμματος. Η παρούσα διατριβή οδήγησε στη δημοσίευση πέντε εργασιών σε έγκριτα επιστημονικά περιοδικά του εξωτερικού.