Διαφορική θεωρία Galois και μη-ολοκληρωσιμότητα του ανισοτροπικού προβλήματος Stormer και του ισοσκελούς προβλήματος τριών σωμάτων

Abstract

In the present dissertation we studied the integrability of the anisotropic Stormer problem (ASP) and the isosceles three-body problem (IP), applying the Morales-Ramis-Simo theory. The results of our study were published by the journal Physica D: Nonlinear Phenomena. A Hamiltonian system SH, of N degrees of freedom, is integrable (in the Liouville sense) if it admits an involutive set of N functionally independent first integrals. J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis and C. Simo proved that if an SH is integrable, then the identity component of the differential Galois group of the variational equations VE­k of order k that correspond to an integral curve of the SH, is abelian. The ASP can be considered as a Hamiltonian system of two degrees of freedom that contains the parameters pφ and ν2>0, which describes the motion of a charged particle under the influence of the magnetic field of a dipole. Α. Almeida, T. Stuchi had proved that the ASP is non-integrable for pφ?0 and ν2>0, while for pφ=0 they had proved the non-integrability of the cases that correspond to ν2?5/12, 2/3. Our study proved that the ASP with pφ=0 (ASP0) is, also, non-integrable for ν2=5/12, 2/3. Initially, using the Yoshida method, we analysed the of the VE­­1, that correspond to two integrals curves of the ASP0, concluding that they are non-abelian for ν2?2/3. Then, we defined the VE3 along a third integral curve of the ASP0 and indicated that the corresponding is non-abelian for ν2=2/3. According to the Morales-Ramis-Simo theory, the aforementioned considerations prove the non-integrability of the ASP for pφ=0 and ν2>0. The IP is a special case of the three-body problem and it can be treated as a Hamiltonian system of two degrees of freedom that embodies the parameters pφ and m, m3>0. Previous analysis of the IP suggested the non-integrability of the system, but it was performed with the use of numerical methods. Finding an integral curve for each of the cases pφ=0, pφ?0, we defined the corresponding VE1 and proved the non-integrability of the IP. For pφ=0 we used the Yoshida method to examine , while for pφ?0 we applied the Kovacic algorithm and some results of D. Boucher, J.A. Weil to investigate the corresponding . In both of the aforementioned cases the were non-abelian, yielding IP non-integrable, according to the Morales-Ramis-Simo theory.

Στην παρούσα διατριβή μελετήσαμε την ολοκληρωσιμότητα του ανισοτροπικού προβλήματος Stormer (ASP) και του ισοσκελούς προβλημάτος τριών σωμάτων (IP), με εφαρμογή της θεωρίας Morales-Ramis-Simo. Τα αποτελέσματα της μελέτης δημοσιεύθηκαν στο περιοδικό Physica D: Nonlinear Phenomena. Ένα σύστημα Hamilton SH, Ν βαθμών ελευθερίας, είναι ολοκληρώσιμο (κατά Liouville) όταν επιδέχεται Ν συναρτησιακώς ανεξάρτητα και σε ενέλιξη πρώτα ολοκληρώματα. Οι J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis και C. Simo απέδειξαν ότι αν ένα SH είναι ολοκληρώσιμο, τότε η ταυτοτική συνιστώσα της διαφορικής ομάδας Galois των εξισώσεων μεταβολών VE­k τάξης k, που αντιστοιχούν σε μια ολοκληρωτική καμπύλη του SH, είναι αβελιανή. Το ASP μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα σύστημα Hamilton δυο βαθμών ελευθερίας που περιέχει τις παραμέτρους pφ και ν2>0, το οποίο περιγράφει την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου ενός διπόλου. Οι Α. Almeida, T. Stuchi είχαν αποδείξει ότι το ASP είναι μη-ολοκληρώσιμο για pφ?0 και ν2>0, ενω για pφ=0 είχαν αποδείξει τη μη-ολοκληρωσιμότητα των περιπτώσεων που αντιστοιχούν στις τιμές ν2?5/12, 2/3. Η δική μας διερεύνηση απέδειξε ότι το ASP με pφ=0 (ASP0) είναι, επίσης, μη-ολοκληρώσιμο για ν2=5/12, 2/3. Αρχικά, με χρήση της μεθόδου Yoshida, αναλύσαμε τις των VE­­1, που αντιστοιχούν σε δύο ολοκληρωτικές καμπύλες του ASP0, καταλήγοντας ότι οι είναι μη-αβελιανές για ν2?2/3. Στη συνέχεια, ορίσαμε τις VE3 κατά μήκος μιας τρίτης ολοκληρωτικής καμπύλης του ASP0 και δείξαμε ότι η αντίστοιχη είναι μη-αβελιανή για ν2=2/3. Σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simo, τα προαναφερόμενα αποδεικνύουν τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ASΡ για pφ=0 και ν2>0. Το ΙΡ είναι μια υποπερίπτωση του προβλήματος τριών σωμάτων και μπορεί να μελετηθεί ως ένα σύστημα Hamilton δύο βαθμών ελευθερίας με παραμέτρους pφ και m, m3>0. Η προγενέστερη ανάλυση του ΙΡ υπεδείκνυε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του συστήματος, όμως είχε πραγματοποιηθεί με χρήση αριθμητικών μεθόδων. Βρίσκοντας από μια ολοκληρωτική καμπύλη για κάθε μια απο τις περιπτώσεις pφ=0, pφ?0, ορίσαμε τις αντίστοιχες VE1 και αποδείξαμε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ΙΡ. Για pφ=0 χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο Yoshida για να μελετήσουμε την , ενώ για pφ?0 εφαρμόσαμε τον αλγόριθμο Kovacic και ερευνητικά αποτελέσματα των D. Boucher, J.A. Weil για να διερευνήσουμε την αντίστοιχη . Οι και στις δυο προαναφερόμενες περιπτώσεις είναι μη-αβελιανές, οπότε το ΙΡ είναι μη-ολοκληρώσιμο, σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simo.