Προβλήματα ευστάθειας με ειδικές θεωρίες ελαστικότητας

Abstract

Stability is a mechanics phenomenon of the deformable bodies related to non-unique solutions of the equilibrium problem. The need for stability studies, mainly of thin structures had been recognized since the beginning of the 18 century. However, the interest was quite restricted up to 1960 when the aerospace program was developed, demanding simultaneously strong and light structures. Hence, it was appeared the need for the study of post-buckling behavior of the structures, which could guaranteed strong and working structures even after buckling phenomenon. For the solution of tension problem introduced strain second gradient elasticity which has been introduced by Mindhn. In this case an intrinsic length is introduced that contributes in the study of the buckling problem of long beams satisfying the boundary conditions. Furthermore, the existence of imperfections is not necessary contrary to the standard elastic models. The first problem concerns the stability of an elastic rod in tension with the development localities. It is used the elastic strain second gradient. The constitutive relations are linear, however the deformations are non linear. The critical conditions are located which are characteristics of the material. It is proved that the critical load is a material characteristic and does not depend on the geometry of the bar. Furthermore, the geometric characteristics of the localization depend on the post critical incremental load. It is pointed out that the present problem adopts relatively straight forward strain energy density functions that are not specifically designed to rise localization effects. The theory has been implemented and illustrated in the application. In the next chapter, the stability problem of an Euler beam will be studied in the context of non-local elasticity theory. This theory introduces strain energy densities depending not only upon the local deformation but on an average strain of the whole beam too. Critical conditions are derived and post critical analysis is presented. It is proved that the strain energy density function does not depend only on the local curvature but also on the average global curvature field. Consequently, pure bending of an initially straight beam does not yield a beam deformed into a circular arc (constant strain), but a variable curvature field due to the influence of the non-local action of the curvature (strain) field. Likewise, the Euler beam buckling problem is formulated and studied for materials with non-local action or spatial dependence of the strain energy density function. The critical condition (load) is located for the simply supported beam. Furthermore, the contribution of the weak and strong influence of the non-local strain into the critical load is discussed.

Ο έλεγχος της ευστάθειας είναι ένα φαινόμενο της Μηχανικής των στέρεων σωμάτων που συσχετίζεται με μη μοναδικές λύσεις στο πρόβλημα της ισορροπίας. Η ανάγκη ελέγχου, κυρίως λεπτών κατασκευών σε λυγισμό είχε επισημανθεί από τις αρχές του 18ου αιώνα. Όμως είχε περιορισμένο ενδιαφέρον μέχρι τη δεκαετία του 1960 οπότε και αναπτύχθηκε το αεροδιαστημικό πρόγραμμα το οποίο απαιτούσε ισχυρές και ταυτόχρονα ελαφρές κατασκευές. Παρουσιάστηκε λοιπόν η ανάγκη της μελέτης της μεταλυγισμικής συμπεριφοράς των κατασκευών, η οποία ήταν δυνατόν να εξασφαλίσει ισχυρές κατασκευές ακόμη και μετά την εκδήλωση του φαινομένου του λυγισμού. Το πρώτο πρόβλημα που μελετάται είναι το πρόβλημα ευστάθειας μιας ελαστικής ράβδου σε εφελκυσμό με τη δημιουργία εντοπιότητας παραμόρφωσης και μελετάται με τη βοήθεια της ελαστικής θεωρίας της δεύτερης βαθμίδας παραμόρφωσης η οποία εισήχθη από τον Mindlin [3]. Οι σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων είναι γραμμικές όμως οι παραμορφώσεις είναι μη γραμμικές. Εντοπίζονται οι κρίσιμες συνθήκες και αποδεικνύεται ότι το κρίσιμο φορτίο είναι χαρακτηριστικό του υλικού. Η μελέτη αρχίζει με την εισαγωγή μιας μονοδιάστατης θεωρίας δεύτερης βαθμίδας παραμόρφωσης και προσδιορίζονται οι κρίσιμες συνθήκες για την επερχόμενη μη ομογενή παραμόρφωση. Δεδομένου ότι η περιοχή της εντοπιότητας δεν είναι προκαθορισμένη εφαρμόζεται η θεωρία της διχάλωσης και προκύπτει ένα συνεχές φάσμα λύσεων Fourier. Με τη βοήθεια της μεθόδου των διαταραχών πολλαπλών βαθμίδων προσδιορίζεται η επίλυση του προβλήματος από την περιβάλλουσα των επιμέρους λύσεων με συνεχές φάσμα. Η παρούσα μελέτη επεκτείνεται στη μελέτη της καθαρής κάμψης και του λυγισμού μιας δοκού με μη τοπική ελαστικότητα. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία η οποία εισήχθη από τον Fosdick, η πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης σ’ ένα σημείο εξαρτάται έκτος από την αντίστοιχη τροπή σε εκείνο το σημείο και από μια μέση τιμή κατά κάποιο τρόπο, της τροπής όλου του σώματος. Ο μη τοπικός όρος της πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης ανταποκρίνεται στη συμβολή της μικροδομής η οποία είναι δυνατό να δώσει διαφορετική συμπεριφορά από αυτή που ήδη γνωρίζουμε. Η πρωτοτυπία της παρούσας εργασίας προσδιορίζεται στη μελέτη προβλημάτων ευστάθειας σε ειδικές θεωρίες ελαστικότητας όπως είναι η ελαστική θεωρία της δεύτερης βαθμίδας παραμόρφωσης, και η μη τοπική θεωρία ελαστικότητας. Στο πρόβλημα της ευστάθειας του μονοδιάστατου προβλήματος του εφελκυσμού, οι κρίσιμες συνθήκες και οι μη γραμμικότητες της παραμόρφωσης συμβάλλουν στη δημιουργία μη ομοιόμορφων παραμορφώσεων παρακολουθώντας την εξέλιξη της φόρτισης σε ομοιόμορφες αρχικές παραμορφώσεις. Τα προβλήματα τα οποία μελετώνται απαιτούν εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές όπως είναι η μέθοδος των διαταραχών των πολλαπλών βαθμίδων. Στο πρόβλημα του λυγισμού μιας ράβδου η επιρροή της μη τοπικής εξάρτησης είναι δυνατόν να αλλάξει τη συμπεριφορά σε λυγισμό ενός παραμορφώσιμου σώματος.