Αριθμητική επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο των ασυνεχών πεπερασμένων στοιχείων

Abstract

Στην εργασία που ακολουθεί παρουσιάζουμε κυρίως αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών και μη-γραμμικών υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου των ασυνεχών πεπερασμένων στοιχείων (ΑΠΣ). Παρουσιάζουμε επίσης αριθμητικές μεθόδους ΑΠΣ για συγγενή προβλήματα, όπως τις εξισώσεις Navier-Stokes, τις εξισώσεις Maxwell και τις εξισώσεις μαγνητοϋδροδυναμικής. Το χωρικό διακριτό ανάλογο των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) προκύπτει αν διαμερίσουμε το υπολογιστικό χωρίο σε στοιχεία και ορίσουμε κατάλληλους χώρους πεπερασμένης διάστασης στους οποίους ανήκει η προσεγγιστική λύση. Η κύρια διαφορά μεταξύ της μεθόδου των κλασσικών (συνεχών) πεπερασμένων στοιχείων και της μεθόδου των ΑΠΣ, είναι ότι στην μέθοδο των ΑΠΣ δεν απαιτείται συνθήκη συνέχειας για την αριθμητική λύση στις πλευρές των στοιχείων. Η 'επικοινωνία' μεταξύ των γειτονικών στοιχείων επιτυγχάνεται με την επίλυση ενός προβλήματος ασυνέχειας, όπου υπεισέρχεται η αριθμητική ροή (ή Riemann solver) στα σύνορα των στοιχείων. 'Ετσι μπορεί να ειπωθεί ότι η μέθοδος των ΑΠΣ μοιάζει με την μέθοδο των πεπερασμένων όγκων. Η αριθμητική λύση τοπικά σε κάθε στοιχείο είναι ένα πολυώνυμο και η τάξη ακρίβειας της μεθόδου καθορίζεται από τον βαθμό του πολυωνύμου αυτού. Η επίλυση του παραγόμενου συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων που προκύπτει από τη διακριτοποίηση του χωρικού προβλήματος ως προς το χρόνο, γίνεται με άμεσες μεθόδους Runge-Kutta τρίτης τάξης. Οι κατηγορίες των μερικών διαφορικών εξισώσεων που επιλύσαμε είναι: 1. Γραμμικές εξισώσεις του Euler (προβλήματα αεροακουστικής), 2. Μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις Euler (προβλήματα συμπιεστής ροής), 3. Εξισώσεις Navier-Stokes (προβλήματα συμπιεστής ροής με ιξώδες), 4. Εξισώσεις Maxwell (προβλήματα ηλεκτρομαγνητισμού), 5. Εξισώσεις μαγνητοϋδροδυναμικής (MHD) (προβλήματα συμπιεστής ροής υπό την παρουσία μαγνητικού πεδίου). Προσπαθήσαμε να επιλύσουμε τα κλασσικότερα προβλήματα δοκιμής που αναφέρονται στην βιβλιογραφία για κάθε κατηγορία εξισώσεων, ώστε να είναι δυνατή η εξαγωγή τεκμηριωμένων συμπερασμάτων τα οποία αφορούν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου των ΑΠΣ για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω διαφορικών εξισώσεων.