Στατιστική μηχανική περίπλοκων συστημάτων και δικτύων

Abstract

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε την περιπλοκότητα δικτύων επικοινωνίας, δικτύων συνεργασίας και οικονομικών συστημάτων. Χρησιμοποιούμε πολύ γενικές μεθόδους που στηρίζονται κυρίως στη θεωρία γράφων. Κάθε ένα από τα συστήματα που αναλύουμε το μετατρέπουμε πρώτα σε ένα περίπλοκο δίκτυο, παριστάνοντας τα στοιχεία του με κόμβους και τις αλληλεπιδράσεις των στοιχείων του με συνδέσεις. Αυτή η προσέγγιση μας επιτρέπει να αντιμετωπίσουμε μια πληθώρα συστημάτων χρησιμοποιώντας ένα κοινό σύνολο εργαλείων. Αναλύσαμε με λεπτομέρεια το ελληνικό ακαδημαϊκό δίκτυο το οποίο αποτελεί ένα υποσύνολο του ελληνικού διαδικτύου. Βρήκαμε ότι η κατανομή των βαθμών του μπορεί να προσεγγιστεί από μια συνάρτηση νόμου δύναμης με εκθέτη γ=2.12±0.03. Χρησιμοποιώντας στοιχεία από την θεωρία της διήθησης δείξαμε ότι το δίκτυο είναι πολύ ανθεκτικό σε καταστροφές που συμβαίνουν στους ασθενείς κόμβους του, όπως επίσης και σε τυχαίες καταστροφές. Είναι όμως πολύ ευαίσθητο σε καταστροφές των ισχυρών του κόμβων. Μελετήσαμε επίσης τη διάδοση ιών χρησιμοποιώντας το μοντέλο SIR. Τα ευρήματά μας είναι παρόμοια με την εξάπλωση ιών σε δίκτυα μικρού κόσμου. Στη συνέχεια μελετήσαμε την εξέλιξη του δικτύου συνεργασίας μεταξύ επιστημόνων που συνεργάστηκαν σε έργα χρηματοδοτούμενα από τα ευρωπαϊκά κοινοτικά πλαίσια στήριξης (FPs). Βρήκαμε ότι τα δίκτυα που προέκυψαν για το FP5 και το FP6 είναι όμοια στη δομή τους και ενώ ο συνολικός αριθμός των έργων καθώς και ο συνολικός αριθμός των συμμετεχόντων φορέων από το FP5 στο FP6 ελαττώθηκε, οι συνεργασίες Γκάρας Αντώνιος - #ιδακτορική διατριβή μεταξύ των συμμετεχόντων φορέων αυξήθηκαν. Εντοπίσαμε διαφορετικές εξαρτήσεις του μέσου αριθμού των βαρών <w>i από τον βαθμό k καθώς μελετάμε το δίκτυο σε διαφορετικά επίπεδα. Βρήκαμε επίσης ότι με όρους διεθνών συνεργασιών, όσο πιο ενεργά είναι τα ιδρύματα κάποιας χώρας, τόσο πιο κεντρικό ρόλο αυτή η χώρα παίζει στην δομή του δικτύου. Ο ρόλος αυτός μπορεί να επιδειχθεί χρησιμοποιώντας το Minimum Spanning Tree (MST) του δικτύου συνεργασίας. Οι τέσσερις μεγαλύτερες χώρες της Ευρώπης, δηλαδή η Γερμανία, η Γαλλία, η Ιταλία και το Ηνωμένο Βασίλειο παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλα τα FP. Η ανάλυση μας δείχνει ότι η Γερμανία είναι ο κεντρικότερος από όλους αυτούς του κεντρικούς κόμβους όταν όλοι οι τομείς της έρευνας συνδυαστούν μεταξύ τους. Επιπροσθέτως, μελετήσαμε τη χρονική εξέλιξη του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών χρησιμοποιώντας την τεχνική του MST και την Random Matrix Theory. Βρήκαμε ότι η εξέλιξη της μέσης τιμής του πίνακα συντελεστών συσχέτισης κάθε χρόνο καθώς και το συνδεόμενο με αυτόν κανονικοποιημένο μέγεθος δέντρου είναι παρόμοια για τελείως διαφορετικά μεταξύ τους χαρτοφυλάκια. Η συνολική κατανομή του βαθμών για όλα τα MST βρέθηκε ότι ακολουθεί συνάρτηση νόμου δύναμης με μέσο εκθέτη γ=1.86±0.06 σε κανονικές περιόδους διαπραγμάτευσης ενώ κατά την διάρκεια κρίσεων ο εκθέτης αυτός ελαττώνεται σημαντικά. Μελετήσαμε επίσης τον τρόπο με τον οποίο η αγορά στο σύνολό της επηρεάζει τις συσχετίσεις των μετοχών χρησιμοποιώντας την μεγαλύτερη ιδιοτιμή (λ1) του πίνακα των συσχετίσεων. Βρήκαμε ότι η συνεισφορά της αγοράς είναι η ίδια σε όλα τα διαφορετικά χαρτοφυλάκια που μελετήσαμε. Βρήκαμε επίσης ότι κατά τα πρώιμα χρόνια της ελληνικής χρηματιστηριακής αγοράς υπήρχαν συγκεκριμένοι κλάδοι της οικονομίας που έπαιζαν πιο σημαντικό ρόλο από τους υπόλοιπους, ενώ με την πάροδο του χρόνου η συνεισφορά όλων των κλάδων άρχισε να γίνεται ομογενής. Χρησιμοποιώντας 1062 μετοχές που διαπραγματεύονταν στο NYSE από το 1987 μέχρι το 1998 βρήκαμε ότι τα δίκτυα που προκύπτουν από τις συσχετίσεις των μετοχών δείχνουν μεγάλη ανοχή στην αφαίρεση των ισχυρών τους συνδέσεων. Αυτή η ανοχή προέρχεται κυρίως από την συνδεσιμότητα που παρέχουν οι ασθενείς συνδέσεις. Αντιθέτως η αφαίρεση των ασθενών Γκάρας Αντώνιος - #ιδακτορική διατριβή συνδέσεων οδηγεί σε μικρότερα δίκτυα, που όμως έχουν ιδιότητες όμοιες με τις ιδιότητες του αρχικού. Αυτό εξηγεί γιατί μια χρηματιστηριακή αγορά δεν επηρεάζεται πάρα πολύ από τις μετοχές μικρής κεφαλαιοποίησης, επηρεάζεται όμως πολύ από τις μετοχές μεγάλης κεφαλαιοποίησης οι οποίες είναι ισχυρά συνδεδεμένες μεταξύ τους για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Εισαγάγαμε επίσης μια νέα μέθοδο που μπορεί να εξάγει πληροφορίες αποθηκευμένες σε περίπλοκα δίκτυα χρησιμοποιώντας μόνο ένα υποσύνολο που περιέχει τις ισχυρότερες συνδέσεις των δικτύων αυτών. Η μέθοδός μας βασίζεται στην καθιερωμένη τεχνική του MST όμως επιτρέπει στον εξαγόμενο γράφο να περιέχει κλειστούς βρόγχους, με αποτέλεσμα αυτός να διατηρεί μεγαλύτερο ποσοστό πληροφορίας σε σχέση με το απλό MST. Ο γράφος αυτός που τον ονομάζουμε Overlapping Tree Network (OTN) πέραν της πληροφορίας που έχει να κάνει με την ομαδοποίηση ομοειδών κόμβων, μας δίνει και την πλήρη εικόνα του τρόπου με τον οποίο οι ισχυροί κόμβοι του δικτύου συνδέονται μεταξύ τους. Επίσης το ΟΤΝ μπορεί να περιέχει και συνδέσεις οι οποίες υπήρξαν ισχυρές μόνο για κάποιο μικρό χρονικό διάστημα ή για κάποιο συγκεκριμένο σύνολο αλληλεπιδράσεων και στη συνέχεια ξανάγιναν ασθενείς. Μια τέτοια δυναμική εξέλιξη δεν είναι δυνατόν να ανιχνευθεί από το MST μόνο. Σαν αποτέλεσμα το ΟΤΝ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να τονίσει ακόμη περισσότερο τον κεντρικό ρόλο κάποιων ισχυρών κόμβων του δικτύου. Η μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε σε δύο διαφορετικά συστήματα και μας έδωσε πολύ ενδιαφέρουσες πληροφορίες και για τα δύο.