Εφαρμογή του μοντέλου της βαθμοελαστικότητας στη νανοκλίμακα

Abstract

The First chapter of the thesis is devoted to a short and comprehensive review of field theories in elasticity with special emphasis in gradient elasticity. The Second chapter presents some crucial technological problems in which the theory of elasticity is used. Emphasis is provided in modern technology applications of elasticity in which the micro/nanodevices used and their dimensions have a great impact on their mechanical behavior. This kind of behavior which is different from their bulk or macro counterparts dictates the reformulation of the mechanical models used for the interpretation elastic constants. Among the applications which are being examined are those of micro/bending of beams and films in order to determine their elastic modulus and residual stresses. The Third chapter is devoted to correlating micro/nano technology and gradient elasticity with special interest given to modern technological problems where the classical elasticity analysis is not sufficient. In particular, Stoney’s formula is modified, with which the estimation of residual stresses is made in a film over a substrate, in order to incorporate the characteristic length scale of the micro/nanostructure, as well as the formula which is used to estimate Young’s modulus with respect to the load applied, beam’s geometry and the elastic line of the beam. These modified formulas can be further used in order to determined and define the characteristic length scale inherent in gradient elasticity models. The Fourth chapter describes the general formulation of gradient elasticity models which have been presented in this thesis or are under consideration. Furthermore, use is made of calculus of variations for the production of proper boundary conditions for the models under consideration. The first model examined exhibits extra boundary conditions which are simplified for plane boundaries in or, whereas is the displacement vector and is the unit vector normal to the plane under consideration. The second model examined exhibits boundary conditions of the form or, whereas defines the Airy stress function. Finally, solutions of problems in which classical elasticity breaks down are present. These problems involve screw dislocation and crack configuration under anti-plane shear. The Fifth chapter tackles the classical Inglis-Griffith problem of an infinite plate incorporating an elliptic hole in which the distribution of stresses and strains is determined both with elasticity and gradient elasticity formulation. This problem is rather challenging mainly due to the use of curvilinear coordinates and the use of Ru-Aifantis theorem [Ru και Aifantis (1993)] in the aforementioned coordinates. Using Ru-Aifantis theorem allows us to produce a solution with respect to the classical elasticity solutions through a non-homogeneous Helmholtz type equation in which the classical solution is considered as a source term.

Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται μια σύντομη αλλά τεκμηριωμένη ιστορική αναδρομή που αφορά τις γενικευμένες θεωρίες ελαστικότητας με έμφαση στην βαθμοελαστικότητα. Στο Κεφάλαιο 2 επιχειρείται μία σύντομη ανασκόπηση των εφαρμογών της κλασσικής ελαστικότητας σε τεχνολογικά προβλήματα. Έμφαση δίνεται στη μοντέρνα τεχνολογία που απαιτεί συνεχώς ελαττωμένες διαστάσεις για μικροεξαρτήματα και μικροσυσκευές όπου και εμφανίζεται η αναγκαιότητα για μια γενικευμένη θεώρηση ελαστικότητας σε σχέση με την μηχανική καταπόνηση των διατάξεων αυτών στην μικροκλίμακα και νανοκλίμακα. Συγκεκριμένα οι διατάξεις αυτές αφορούν την κάμψη μικροδοκών και λεπτών υμενίων για τον προσδιορισμό ελαστικών σταθερών και εσωτερικών τάσεων. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφονται λεπτομερέστερα αλλά εν συντομία η συσχέτιση βαθμοελαστικότητας και μικρο/νανοτεχνολογίας, με ιδιαίτερη αναφορά σε περιπτώσεις πειραματικών μετρήσεων που ενδεχομένως η ανάλυση τους με την κλασσική ελαστικότητα δεν είναι επαρκής. Συγκεκριμένα παράγονται τροποποιημένες σχέσεις με βάση την βαθμοελαστικότητα για τον τύπο του Stoney που χρησιμοποιείται ως συνταγή για τον προσδιορισμό των εσωτερικών τάσεων κατά την εναπόθεση ενός λεπτού υμενίου σε υπόστρωμα, όπως και για την έκφραση που προσδιορίζει το μέτρο του Young σαν συνάρτηση του επιβαλλόμενου φορτίου, της βύθισης και των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της μικροδοκού. Οι τροποποιημένες αυτές σχέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της νεοεισαχθείσας βαθμιδικής σταθεράς. Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφεται η πεπλεγμένη βαθμοελαστικότητα, η οποία και αποτελεί το υπόβαθρο για μια ενιαία θεώρηση των διαφόρων μοντέλων της βαθμοελαστικότητας τα οποία έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί ή προτείνονται εδώ να διερευνηθούν. Στη συνέχεια γίνεται χρήση του λογισμού των μεταβολών για την παραγωγή των αντίστοιχων οριακών συνθηκών για τα μοντέλα υπό εξέταση. Για το πρώτο μοντέλο αποδεικνύεται ότι οι επιπλέον οριακές συνθήκες (πέραν αυτών της κλασσικής ελαστικότητας) απλοποιούνται για ευθύγραμμα όρια στις ή όπου είναι η μετατόπιση και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια που περικλείει το υπό θεώρηση σώμα. Για το δεύτερο μοντέλο αποδεικνύεται ότι οι αντίστοιχες επιπλέον οριακές συνθήκες εκφράζονται από τις σχέσεις ή όπου είναι η αντίστοιχη τασική συνάρτηση Airy. Στο Κεφάλαιο 5 αντιμετωπίζεται το κλασσικό πρόβλημα του Inglis-Griffith, τόσο με την κλασσική όσο και με τη βαθμοελαστική θεώρηση, που αφορά την κατανομή των τάσεων-παραμορφώσεων σε μία άπειρη πλάκα που περιέχει μια ελλειπτική οπή,. Το πρόβλημα αυτό είναι εξαιρετικά δύσκολο αφού απαιτεί χρήση καμπυλόγραμμων ελλειπτικών συντεταγμένων και την έκφραση του θεωρήματος Ru-Aifantis [Ru και Aifantis (1993)] στις συντεταγμένες αυτές. Η χρήση του θεωρήματος Ru-Aifantis επιτρέπει την λήψη λύσεων της βαθμοελαστικότητας συναρτήσει των λύσεων της κλασσικής ελαστικότητας μέσω μιας μη-ομογενούς εξίσωσης Helmholtz όπου η κλασσική λύση εμφανίζεται ως “πηγή”.