Θεωρία ελαστο-πλαστικότητας ανωτέρας τάξης και φαινόμενα κλίμακας

Abstract

Η συμβολή της παρούσας διδακτορικής διατριβής στην επιστήμη εντοπίζεται στην εφαρμογή μοντέλων της θεωρίας βαθμοελαστικότητας (gradient elasticity) και βαθμοπλαστικότητας (gradient plasticity) σε ένα αριθμό προβλημάτων επιστημονικού και τεχνολογικού ενδιαφέροντος, με έμφαση τις επιδράσεις μεγέθους, για την αναλυτική επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών και την μοντελοποίηση πειραματικών δεδομένων για φαινόμενα κλίμακας. Ο ρόλος της παρούσας διατριβής είναι διττός και εστιάζεται αφενός μεν στην ερμηνεία και μοντελοποίηση πειραματικών δεδομένων και αφετέρου στον έλεγχο των αριθμητικών μεθόδων επίλυσης αντιστοίχων προβλημάτων. Η θεωρία βαθμίδων (gradient theory) χαρακτηρίζεται από την εισαγωγή στις καταστατικές σχέσεις, χωρικών παραγώγων (βαθμίδες/gradients) ανωτέρας τάξης και την εμφάνιση αντίστοιχων φαινομενολογικών συντελεστών βαθμίδας (gradient coefficients) οι οποίοι έχουν άμεση σχέση με την μικροδομή του υλικού. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται η περιγραφή φαινομένων που σχετίζονται άμεσα με αλληλεπιδράσεις της μικροδομής και τη δημιουργία ανομοιογένειάς της κατά την διάρκεια της μηχανικής παραμόρφωσης και θραύσης. Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων φαινομένων είναι οι επιδράσεις κλίμακας ή μεγέθους (size/scale effects), ο εντοπισμός της παραμόρφωσης (strain localization), η μορφογένεση των εξαρμόσεων (dislocation patterning). Τα φαινόμενα αυτά δεν είναι δυνατό να περιγραφούν με βάση τις κλασικές θεωρίες ελαστικότητας και πλαστικότητας. Η βαθμιδική ελαστικότητα (gradient elasticity) ή βαθμοελαστικότητα (BE) και η βαθμιδική πλαστικότητα (gradient plasticity) ή βαθμοπλαστικότητα (ΒΠ), στην μορφή που αυτές εισήχθησαν και μελετήθηκαν από τον Aifantis και συνεργάτες, είναι οι δύο θεωρίες βαθμίδων που χρησιμοποιούνται στην παρούσα διατριβή. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται παρουσίαση των θεωριών βαθμίδων και αναφέρεται ο ρόλος τους στην μηχανική περιγραφή της συμπεριφοράς των υλικών. Ακολουθεί μία σύντομη ιστορική αναδρομή των θεωριών ελαστικότητας ανωτέρας τάξης και παρουσιάζονται οι εξισώσεις πεδίου και οι συνοριακές συνθήκες της θεωρίας ελαστικότητας με βαθμίδες παραμόρφωσης ανωτέρας τάξης. Στην συνέχεια παρουσιάζονται διάφορα μοντέλα βαθμοελαστικότητας και γίνεται μία εκτενής παρουσίαση και διερεύνηση του θεωρήματος Ru-Aifantis, η χρήση του οποίου καθιστά λιγότερο επίπονη την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών διότι μειώνει την τάξη των προκυπτουσών διαφορικών εξισώσεων από τέταρτη τάξη σε δεύτερη τάξη. Τονίζεται, για ποιο BE μοντέλο εφαρμόζεται το προαναφερθέν θεώρημα, το οποίο εκφράζει τις λύσεις συνοριακών προβλημάτων της BE σε συνάρτηση των λύσεων της κλασικής ελαστικότητας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται τα φαινόμενα κλίμακας (size/scale effects), δηλαδή τα φαινόμενα κατά τα οποία υφίσταται εξάρτηση της μηχανικής συμπεριφοράς ενός υλικού από το μέγεθος του δοκιμίου για γεωμετρικά όμοια δοκίμια, και γίνεται σύντομη αναφορά στην ιστορική εξέλιξη της μελέτης τους σε σχέση με την παρούσα διατριβή. Ιδιαίτερα, αναφέρεται ο ρόλος των βαθμίδων παραμόρφωσης ανωτέρας τάξης στην ερμηνεία των φαινομένων κλίμακας, όπως και οι εφαρμογές των φαινομένων αυτών στην τεχνολογία. Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζονται προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης μέσα στα πλαίσια της ελαστικότητας ανωτέρας τάξης και προσομοιώνονται αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα φαινομένων κλίμακας. Αρχικά εξετάζεται το αξονοσυμμετρικό πρόβλημα της οπής γεώτρησης (borehole), το οποίο επιλύεται με τρεις διαφορετικές μεθόδους (ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών, χρήση θεωρήματος Ru-Aifantis, χρήση μιγαδικών συναρτήσεων) για διάφορα καταστατικά μοντέλα BE. Συνάγεται ότι οι μικρές οπές είναι πιο ανθεκτικές από τις μεγάλες για γεωμετρικά όμοιες διατάξεις ή δοκίμια. Στην συνέχεια εξετάζεται αναλυτικά το πρόβλημα του χονδρόπαχου κυλινδρικού αγωγού υπό εσωτερική και εξωτερική πίεση, και συμπεραίνεται πάλι ότι οι μικρότεροι κυλινδρικοί αγωγοί είναι πιο ανθεκτικοί. Στο τέλος του κεφαλαίου γίνεται σύγκριση και μοντελοποίηση πειραματικών δεδομένων, που προέρχονται από δοκιμές σε κυλινδρικά δοκίμια με οπή υπό εξωτερική πίεση, με θεωρητικά αποτελέσματα, της BE για το πρόβλημα αυτό. Στο Κεφάλαιο 4 χρησιμοποιείται ένα διαφορετικό μοντέλο ελαστικότητας ανωτέρας τάξης για την επίλυση προβλημάτων επίπεδης τάσης. Εξετάζεται το πρόβλημα της λεπτής πλάκας με κυκλική οπή που υπόκειται σε ομοιόμορφο θλιπτικό πεδίο. Ακολουθεί το πρόβλημα της λεπτής πλάκας με κυκλική οπή που καταπονείται σε μονοαξονικό εφελκυσμό και γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων της BE με την μικροπολική θεωρία (micropolar theory) και την θεωρία ζεύγους- τάσης (couple-stress theory), οι οποίες βασίζονται μεταξύ των άλλων, στην εισαγωγή ασύμμετρου τασικού τανυστή. Κατά την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων εξετάζεται επίσης η χρήση των συγκεκριμένων λύσεων στην ερμηνεία αντιστοίχων φαινομένων κλίμακας και συμπεραίνεται ότι οι μικρές οπές είναι πιο ανθεκτικές από τις μεγάλες. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την μοντελοποίηση πειραματικών δεδομένων που προκύπτουν από δοκιμές μονοαξονικού εφελκυσμού σε δοκίμια εξαιρετικά μικρών διαστάσεων που περιέχουν οπή και σύγκρισή τους με την ΕΑΤ. Στο Κεφάλαιο 5 γίνεται μία σύντομη περιγραφή της θεωρίας του Griffith (1921) και συγκρίνεται με την BE μέσα στα πλαίσια του υπολογισμού της εφελκυστικής αντοχής ενός πορώδους υλικού. Και οι δύο θεωρίες θεωρούν την παραδοχή ότι οι κρίσιμες μικρο-ατέλειες (μικρο-ρωγμές, μικρο-πόροι) που οδηγούν στην αστοχία του υλικού έχουν πολύ μικρότερες διαστάσεις από το μέγεθος του σώματος στο οποίο περικλείονται. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των δύο θεωριών προκύπτει μία ποιοτική αναλογία στην περιγραφή της επίδρασης μεγέθους στην μηχανική συμπεριφορά των υλικών. Στο Κεφάλαιο 6 γίνεται η ποιοτική σύγκριση του πολυφρακταλικού νόμου κλίμακας (multifractal scaling law/MFSL) του Carpinteri και συνεργατών με άμεσα συμπεράσματα της BE. Παρουσιάζεται ο πολυφρακταλικός νόμος κλίμακας καθώς και κάποιες εισαγωγικές έννοιες των μορφοκλασματικών (fractals). Οι δύο θεωρίες απεικονίζουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις στα φαινόμενα κλίμακας που αφορούν την θλιπτική αντοχή του υλικού. Τα αποτελέσματα των δύο αυτών θεωριών συγκρίνονται σε λογαριθμικά διαγράμματα και ερμηνεύεται το φαινόμενο της εξάρτησης της αντοχής από το μέγεθος του δοκιμίου, που στην παρούσα προσέγγιση αποδίδεται στο γεγονός της επίδρασης της μικροδομής του υλικού (ατέλειες και ανωμαλίες δομής) κατά την αστοχία. Στο Κεφάλαιο 7 εξετάζεται η θεωρία πλαστικότητας με βαθμίδες παραμόρφωσης ανωτέρας τάξης (ΒΠ). Η συνθήκη διαρροής της κλασικής πλαστικότητας εμπλουτίζεται στην ΒΠ με ένα επιπρόσθετο όρο, την Λαπλασιανή της ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης, με σκοπό να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που προκύπτουν από τα κλασικά μοντέλα πλαστικότητας σε θέματα εντοπισμού της πλαστικής παραμόρφωσης (strain localization) και φαινομένων κλίμακας (size effects). Εξετάζονται δύο προβλήματα απόλυτα πλαστικής παραμόρφωσης (αμελητέα ελαστική παραμόρφωση) σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης: α) χονδρόπαχου αγωγού μεγάλου μήκους, ο οποίος υπόκειται σε ομοιόμορφη εσωτερική πίεση, β) χονδρόπαχου σφαιρικού λέβητα ο οποίος υπόκειται σε ομοιόμορφη εσωτερική πίεση. Αντίστοιχα φαινόμενα κλίμακας εξετάζονται με την χρήση των λύσεων αυτών και συμπεραίνεται πάλι η ελάττωση της αντοχής με την αύξηση των διαστάσεων για γεωμετρικά όμοια δοκίμια. Στο Κεφάλαιο 8 εξετάζονται προβλήματα ελαστο-πλαστικότητας, όπου για την περιγραφή της ελαστικής περιοχής χρησιμοποιείται η κλασική ελαστικότητα, ενώ για την περιγραφή της πλαστικής περιοχής χρησιμοποιείται η βαθμοπλαστικότητα (ΒΠ) η οποία παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται δύο προβλήματα ελαστο-πλαστικής παραμόρφωσης σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης: α) χονδρόπαχου αγωγού μεγάλου μήκους που υπόκειται σε ομοιόμορφη εσωτερική πίεση, β) οπή σε ένα άπειρο ελαστο-πλαστικό σώμα που υπόκειται σε ομοιόμορφο εφελκυσμό. Η αναλυτική λύση αυτών των προβλημάτων οδηγεί στην ερμηνεία των αντιστοίχων φαινομένων κλίμακας και συμπεραίνεται (με ανάλογο τρόπο όπως στα προηγούμενα κεφάλαια) η ελάττωση της αντοχής με την αύξηση των διαστάσεων για γεωμετρικά όμοια δοκίμια. Στο κεφάλαιο των συμπερασμάτων, συνοψίζονται τα βασικά συμπεράσματα της παρούσας εργασίας και προτείνονται θέματα για περαιτέρω ερευνητική δραστηριότητα.