Επαναληπτικές σχέσεις για τις ροπές των μεγεθών των καταστάσεων του ομογενούς μαρκοβιανού συστήματος με ή χωρίς χωρητικότητες

Abstract

The aim of this dissertation is to examine the evolution of the state sizes of closed discrete and continuous time homogeneous Markov systems (HMS). We investigate the evolution of these particular systems by means of the factorial moments of the state sizes. For this reason, for the factorial and mixed factorial moments recursive formulae (with parameter the time) are provided. The basic recursive formulae are derived by means of a new defined vector product, which is similar to the Kronecker product. Taking into account the moments, we compute the distribution of the state sizes and the joint distribution of the state vector of the systems. The results are generalized for the case of a discrete time HMS which presents a finite capacity in one of its states. In addition, we consider the discrete time HMS that has finite capacity , in any state of the state space . We examine the evolution of this system by considering a new system with state space where the state contains the members of the system that overflow due to the capacity. Under this consideration the independence of the transitions - which is a basic assumption in the classic discrete time HMS - is abolished, and thus the system becomes an interactive Markov model. By means of the recursive relations for the moments of the state sizes we compute the distribution of the state sizes for any time .

Στην παρούσα διατριβή γίνεται μελέτη της συμπεριφορά του διανύσματος κατάστασης του κλειστού ομογενούς μαρκοβιανού συστήματος ( ΟΜΣ ) διακριτού και συνεχούς χρόνου. Εξετάζεται η συμπεριφορά αυτών των συστημάτων στην εξέλιξη του χρόνου με τη βοήθεια των παραγοντικών ροπών των μεγεθών των καταστάσεων. Για το σκοπό αυτό, δίνονται επαναληπτικές σχέσεις (με παράμετρο το χρόνο) για τις παραγοντικές και τις μικτές ροπές των μεγεθών των καταστάσεων οποιασδήποτε τάξης. Οι βασικές επαναληπτικές σχέσεις προκύπτουν με τη βοήθεια ενός νέου γινομένου διανυσμάτων, το οποίο είναι παρόμοιο με το γινόμενο Kronecker. Χρησιμοποιώντας τις ροπές προσδιορίζεται στη συνέχεια η κατανομή του μεγέθους κάθε κατάστασης, καθώς επίσης και η κοινή κατανομή του διανύσματος κατάστασης των συστημάτων. Τα αποτελέσματα αυτά γενικεύονται και για την περίπτωση του ΟΜΣ διακριτού χρόνου το οποίο παρουσιάζει πεπερασμένη χωρητικότητα σε μία από τις καταστάσεις του. Επίσης, γίνεται μελέτη του (ΟΜΣ) διακριτού χρόνου το οποίο σε κάθε κατάσταση του χώρου καταστάσεων παρουσιάζει πεπερασμένη χωρητικότητα . Εξετάζεται η συμπεριφορά αυτού του συστήματος θεωρώντας ένα νέο σύστημα με χώρο καταστάσεων όπου η κατάσταση περιέχει τα μέλη του συστήματος που υπερχειλίζουν από τις καταστάσεις λόγω του περιορισμού της χωρητικότητας. Με τη θεώρηση αυτή καταργείται η ανεξαρτησία στις μετακινήσεις των μελών του συστήματος, που είναι βασική προϋπόθεση στο κλασικό ΟΜΣ διακριτού χρόνου, και μελετάται πλέον ένα σύστημα με αλληλεπίδραση στις μετακινήσεις των μελών του. Με τη βοήθεια των επαναληπτικών σχέσεων για τις ροπές των μεγεθών των καταστάσεων προσδιορίζεται η κατανομή αυτών των μεγεθών για τα βήματα εξέλιξης του συστήματος πριν την κατάσταση ισορροπίας καθώς και ασυμπτωτικά.