Σύνθεση στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης για τη μοντελοποίηση στάσιμων τυχαίων διαδικασιών με έμφαση στην απόσβεση λόγω βροχής που επιβαρύνει τις μικροκυματικές ζεύξεις

Abstract

This thesis focuses on the Synthesis of 1st Order Stochastic Differential Equations for the simulation of Actual, Stationary Baseband Random Processes such as Rain Attenuation which affects microwave links operating at frequencies over 10GHz. Hereafter, the term '‘Actual Random Process” will denote Random Processes of the aforementioned kind. The term “Baseband” implies that the Spectral Density Function of the particular Stationary Random Process gets its maximum value at zero frequency and it is defined within a frequency window which is symmetrical around the origin. The established Synthesis procedure is modified so that 1st Order Stochastic Differential Equations simulate efficiently not only the 1st and 2nd order statistics but the statistical characteristics of Hitting Times as well, all three belonging to an Actual Random Process. Note that the 1st and 2nd Order Statistics imply respectively the Probability Density Function and the Autocorrelation Function or equivalently, the Spectral Density Function while Hitting Times are Random Variables which are similar to Fade Duration. As a consequence of the modified procedure, the Stochastic Differential Equation reproduces better than previously the generation mechanism of the Actual Process. The new condition added, clarifies in more detail how the generation mechanism of the particular Actual Random Process is “diffracted” through the simulating Stochastic Differential Equation and this in turn allows one to choose more realistically the values for the input parameters so that the “deformation” on the generation mechanism is minimized. In other words, the more the performance of the simulation is printed in detail, the more it becomes feasible to focus on the simulation of particular statistical characteristics such as the Hitting Times around a critical (attenuation) threshold. This is highly beneficial since the simulation becomes more selective and accurate. All these ideas are used in practice to construct three dynamical models which in turn are based on three separate Stochastic Differential Equations of 1st order. These models aim at simulating attenuation due to rain which in the long-term is statistically described by one of the following three Probability Density Functions: the Lognormal, the Weibull or the Gamma. All three models are fully developed in the sense that all necessary quantities are calculated within the thesis and are provided in user-friendly Tables and Appendices so that one can use them without necessarily having to work on cumbersome calculations and mathematical notions. The aforementioned three models are employed within the thesis, for the simulation of rain attenuation which affects an actual microwave link. Rain attenuation time series concerning that particular link are derived by the Synthetic Storm Technique and thus they are considered to be nearly experimental. The aforementioned Technique is quite popular among engineers working in the E/M propagation area. It accepts as “input” rain rate time series measured by an appropriate piece of equipment planted near the receiver antenna (earth-station in case of satellite links) or somewhere else along the trace of the radio path on the ground and it returns as “output” the simulated rain attenuation time series due to the measured rainfall. Rain rate time series were collected by a disdrometer during the period 1st of January 2000 until 31st of May 2002. The collected time series were shown to be representative of the actual phenomenon on an annual time period. Further, they were inserted as “input” in the Synthetic Storm Technique and then the simulated rain attenuation time series extracted, were statistically elaborated in order to obtain the 1st, 2nd and Hitting Time statistics, all three belonging to rain attenuation affecting the particular link. Out of the three dynamic models, the one corresponding to the Lognormal Distribution was shown to be more reliable for the simulation of the rain attenuation affecting the link.

Η Διατριβή εστιάζει στη Σύνθεση Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων 1ης Τάξεως με σκοπό την προσομοίωση Πραγματικών, Στάσιμων Τυχαίων Διαδικασιών Βασικής Ζώνης όπως η απόσβεση λόγω βροχής που επιβαρύνει μια μικροκυματική ζεύξη που λειτουργεί σε συχνότητες άνω των 10GHz. Από εδώ και στο εξής ο όρος «πραγματική Τυχαία Διαδικασία» θα αναφέρεται αποκλειστικά σε Τυχαίες Διαδικασίες που ανήκουν στην προαναφερθείσα οικογένεια. Ο όρος «Βασικής Ζώνης» προσδιορίζει ότι η Συνάρτηση Φασματικής Πυκνότητας της εν λόγω Στάσιμης Τυχαίας Διαδικασίας ορίζεται σε ένα συμμετρικό «παράθυρο» συχνοτήτων περί τη μηδενική συχνότητα, στην οποία λαμβάνει και τη μέγιστη τιμή. Η κύρια συνεισφορά της Διατριβής είναι η τροποποίηση της διαδικασίας Σύνθεσης των 1ης Τάξης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων ώστε οι τελευταίες να προσομοιώνουν ικανοποιητικά όχι μόνο τα στατιστικά χαρακτηριστικά 1ης και 2ης τάξης αλλά και τα στατιστικά χαρακτηριστικά των Χρόνων Διακοπής, μιας πραγματικής Τυχαίας Διαδικασίας. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά 1ης και 2ης τάξης αναφέρονται αντιστοίχως στην Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας και τη Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης ή ισοδύναμα, τη Συνάρτηση Φασματικής Πυκνότητας ενώ οι Χρόνοι Διακοπής είναι Τυχαίες Μεταβλητές που φέρουν ομοιότητες με την πιο γνωστή -από Τηλεπικοινωνιακές Εφαρμογές- Διάρκεια Διάλειψης. Με τον τρόπο αυτό η Στοχαστική Διαφορική δύναται να αναπαράγει επαρκέστερα σε σχέση με προηγουμένως το μηχανισμό γέννησης της Πραγματικής Τυχαίας Διαδικασίας. Με τη νέα συνθήκη που προστίθεται γίνεται πιο ευκρινής ο τρόπος με τον οποίο ο μηχανισμός γέννησης της πραγματικής Τυχαίας Διαδικασίας «διαθλάται» διαμέσου της Στοχαστικής Διαφορικής, ώστε οι παράμετροι του μοντέλου να επιλέγονται έτσι ώστε, η «παραμόρφωση» να είναι η ελάχιστη δυνατή. Όσο πιο λεπτομερής είναι η αποτύπωση της επίδοσης της προσομοίωσης, τόσο περισσότερο γίνεται εφικτό να εστιάσουμε στην προσομοίωση κάποιων συγκεκριμένων χαρακτηριστικών όπως των Χρόνων Διακοπής γύρω από ένα κρίσιμο κατώφλι (απόσβεσης) εις βάρος κάποιων άλλων, λιγότερο σημαντικών όπως των Χρόνων Διακοπής σε αδιάφορο κατώφλι ή της Συνάρτησης Φασματικής Πυκνότητας σε υψηλές συχνότητες. Όλες οι νέες θεωρήσεις αναπτύσσονται στην πράξη. Συγκεκριμένα, κατασκευάζονται τρία δυναμικά μοντέλα με βάση τρεις Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης και με σκοπό την προσομοίωση των διαλείψεων οι οποίες σε μακροπρόθεσμη κλίμακα περιγράφονται πιθανοθεωρητικά από τις κατανομές Λογαριθμοκανονική, Gamma και Weibull. Η ανάπτυξη των τριών μοντέλων είναι πλήρης και ο οποιοσδήποτε θελήσει να τα χρησιμοποιήσει δεν έχει παρά να ανατρέξει σε εύχρηστους Πίνακες και Παραρτήματα που περιέχονται στη Διατριβή έναντι τυπολογίου, χωρίς να χρειάζεται να εντρυφήσει σε βαθύτερες μαθηματικές έννοιες. Τα προαναφερθέντα μοντέλα, χρησιμοποιούνται στη Διατριβή για την προσομοίωση διαλείψεων που επηρεάζουν μια πραγματική ζεύξη. Οι χρονοσειρές απόσβεσης που αναφέρονται στην εν λόγω ζεύξη, είναι εφάμιλλες πειραματικών δεδομένου ότι έχουν εξαχθεί με τη βοήθεια της Συνθετικής Καταιγίδας, η οποία εφαρμόζεται για πρώτη φορά στον Ελλαδικό χώρο. Η εν λόγω τεχνική είναι δημοφιλής στους επιστήμονες που αναμειγνύονται με την έρευνα σε θέματα Η/Μ διάδοσης. Δέχεται σαν «είσοδο» χρονοσειρές ρυθμού βροχόπτωσης μετρούμενου σημειακά από κατάλληλο εξοπλισμό τοποθετημένο κοντά στον επίγειο σταθμό ή σε θέση κατά μήκος του ίχνους του ραδιο-διαδρόμου στην επιφάνεια της γης και δίνει σαν έξοδο, τις προσομοιούμενες χρονοσειρές απόσβεσης λόγοι της μετρούμενης βροχόπτωσης. Στο πείραμα που διεξήχθη στα πλαίσια της διατριβής, χρονοσειρές ρυθμού βροχόπτωσης συλλέχθηκαν κατά την περίοδο από 1/1/2000 μέχρι την 31/5/2002. Εξετάστηκε ποιοτικά η αξιοπιστία και η αντιπροσωπευτικότητα των μετρήσεων υπό το πρίσμα της ιδιότητας του φαινομένου της βροχόπτωσης να παρουσιάζει περιοδικότητα σε ετήσια βάση (cyclo-stationarity). Αφού επαληθεύτηκε η ποιότητα των μετρήσεων, χρησιμοποιήθηκαν στη συνέχεια ως είσοδοι στη ρουτίνα της Τεχνικής της Συνθετικής Καταιγίδας και οι προσομοιούμενες χρονοσειρές απόσβεσης που προέκυψαν, έγιναν αντικείμενο στατιστικής επεξεργασίας για την εξαγωγή των χαρακτηριστικών 1ης και 2ης τάξης και των στατιστικών των Χρόνων Διακοπής της απόσβεσης λόγω βροχής που επιβαρύνει την υποθετική ζεύξη. Από τα τρία δυναμικά μοντέλα, αυτό που αντιστοιχεί στη Λογαριθμοκανονική κατανομή αποδείχθηκε το πιο αξιόπιστο για να προσομοιώσει τις εν λόγω χρονοσειρές.