Αναλυτικές και αριθμητικές λύσεις σε προβλήματα συνοριακών τιμών υλικών με μικροδομή

Abstract

This thesis deals with analytical and numerical solutions of boundary value problems in gradient elasticity, with an emphasis on three-dimensional problems. After a general overview of the relevant theoretical background, enriched with a series of observations and comments on some points which are usually not given the proper attention, the first main point presented here is the derivation of a series of analytical solutions of some simple boundary value problems. These analytical solutions represent both new problems, whose analytical treatment has not been encountered in the relevant literature, and problems whose solution has been presented before, but only for very specific cases. Of particular importance is the study of how solutions to plane strain problems may or may not apply when the respective three-dimensional problems are considered. Passing from the analytical to the numerical part of the present work, an overview is first given of the reason why the numerical treatment of gradient elasticity problems is not straightforward. The “natural” way in which the C¹ requirement appears is described, together with various possible alternative formulations. Having thus shown the importance of considering three dimensional problems and the way C¹ requirements appear, the rest of this thesis is devoted to presenting, validating and justifying the development of a three dimensional isoparametric C¹ element. Following the way the element is developed clearly indicates which are its main benefits, as well as its drawbacks. The validation of the element not only shows the correctness of its numerical behaviour, but is also an important step in demonstrating its good performance in terms of accuracy and convergence. This is further discussed in a theoretical comparison to other elements that have been previously proposed.

Η διδακτορική αυτή διατριβή ασχολείται με την αναλυτική και αριθμητική επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών στα πλαίσια της θεωρίας ελαστικότητος βαθμίδας, με έμφαση στα τριδιάστατα προβλήματα. Μετά από μία γενική επισκόπηση του σχετικού θεωρητικού υποβάθρου, εμπλουτισμένη με μία σειρά παρατηρήσεων και σχολίων πάνω σε ορισμένα σημεία στα οποία δε δίνεται συνήθως η δέουσα προσοχή, το πρώτο κύριο σημείο που παρουσιάζεται είναι η εύρεση μίας σειράς αναλυτικών λύσεων μερικών απλών προβλημάτων συνοριακών τιμών. Οι αναλυτικές αυτές λύσεις αντιπροσωπεύουν τόσο νέα προβλήματα, των οποίων η αναλυτική αντιμετώπιση δεν έχει βρεθεί στη σχετική βιβλιογραφία, όσο και προβλήματα των οποίων η λύση έχει παρουσιαστεί προηγουμένως, αλλά μόνο για πολύ ειδικές περιπτώσεις. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η μελέτη του αν οι λύσεις προβλημάτων επίπεδης παραμόρφωσης μπορούν να εφαρμοστούν στα αντίστοιχα τριδιάστατα προβλήματα. Περνώντας από το αναλυτικό στο αριθμητικό μέρος της παρούσης εργασίας, δίνεται αρχικά μια γενική θεώρηση του λόγου για τον οποίο η αριθμητική αντιμετώπιση προβλημάτων ελαστικότητας βαθμίδας δεν είναι απλή. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ο ‘φυσικός’ τρόπος με τον οποίο προκύπτει η απαίτηση για συνέχεια C¹, καθώς και διάφορες πιθανές εναλλακτικές θεωρήσεις. Έχοντας με αυτόν τον τρόπο δείξει τη σημασία της θεώρησης τριδιάστατων προβλημάτων και τον τρόπο με τον οποίο προκύπτει η απαίτηση για συνέχεια C¹, το υπόλοιπο της διατριβής ασχολείται με την παρουσίαση, τον έλεγχο και την αιτιολόγηση της ανάπτυξης ενός τριδιάστατου ισοπαραμετρικού στοιχείου με συνέχεια C¹. Ακολουθώντας την πορεία ανάπτυξης του στοιχείου φαίνονται καθαρά τα κύρια πλεονεκτήματά του, καθώς και τα μειονεκτήματά του. Ο έλεγχος του στοιχείου δε δείχνει μόνο την ορθότητα της αριθμητικής του συμπεριφοράς, αλλά είναι και ένα σημαντικό βήμα στην απόδειξη της καλής του συμπεριφοράς σε όρους ακρίβειας και ταχύτητας σύγκλισης. Το σημείο αυτό αναλύεται περαιτέρω σε μία θεωρητική σύγκριση του στοιχείου με άλλα στοιχεία που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία.