Μαθηματικά προβλήματα ηλεκτρομαγνητικής δραστηριότητας στη νευροφυσιολογία του εγκεφάλου

Abstract

An exact and complete analytic solution for the forward problem, in the theory of Biomagnetics of the human brain, is known only for the case where the source of the measured magnetic field, in the exterior of a homogeneous sphere, is considered to be a point current dipole. It is also known for special directions of the source inside a spheroidal homogeneous conductor. In the present thesis the corresponding problem for the more realistic ellipsoidal brain model is solved up to its first multipole term. The leading terms of the electric potential in the interior and the exterior of the conductor, as well as the leading quadrupolic term of the multipole expansion of the exterior magnetic induction field, are obtained. The results are given in a form that exhibits the anisotropic character of the ellipsoidal geometry and the structure of the dependence of the fields on Physics and Geometry. The solution of the corresponding problems in spherical geometry as well as the laborious task of reducing the ellipsoidal results in the corresponding spheroidal and spherical cases, has brought up useful conclusions concerning these three geometrical models. In particular it has been proved that, as the anisotropy of the model is increased, the corresponding results for the exterior fields incorporate the boundary of the conductor, which is totally absent in the corresponding results of the isotropic spherical model. Furthermore, the way that the source enters in the quadrupolic term of the magnetic induction field is identified as the vector product of its moment, modified when needed, by its position vector. Consequently, the magnetic silent sources for each model, i.e. sources that produce non detectable exterior magnetic field, are also characterized. Actually, a source that is oriented normally to the boundary of the conductor in the direction of its location, is shown to be always silent. Finally, the present thesis includes a study of ellipsoidal geometry and of the related ellipsoidal coordinate system, as well as a thorough examination of its reduction process to the spheroidal and spherical system. Geometric and analytic connection relations between the ellipsoidal and the spherical system are obtained, aiming to a better understanding of the results of the present thesis. Furthermore this study sets the basis for broadening the possibilities of solving some of the inverse problems of Bioelectromagnetics.

Ακριβής και πλήρης αναλυτική λύση για το ευθύ πρόβλημα του Βιομαγνητισμού του ανθρώπινου εγκεφάλου είναι γνωστή για την περίπτωση που η πηγή του μετρούμενου μαγνητικού πεδίου θεωρείται σημειακό διπολικό ρεύμα εντός σφαιρικού ομογενούς αγωγού. Στην παρούσα διατριβή το ευθύ πρόβλημα του Βιοηλεκτρομαγνητισμού επιλύεται για το πλέον ρεαλιστικό πρότυπο του ομογενούς ελλειψοειδούς εγκεφάλου. Οι πρώτοι όροι προσέγγισης του ηλεκτρικού δυναμικού στο εσωτερικό και στο εξωτερικό του αγωγού παράγονται, καθώς και ο τετραπολικός όρος του πολυπολικού αναπτύγματος του εξωτερικού πεδίου μαγνητικής επαγωγής, κατά τρόπον ώστε να προβάλλεται ο ανισότροπος χαρακτήρας της ελλειψοειδούς γεωμετρίας, αλλά και η δομή της εξάρτησης των πεδίων από τη Φυσική και τη Γεωμετρία. Η επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων στη σφαιρική γεωμετρία καθώς και η επίπονη διαδικασία της αναγωγής των αποτελεσμάτων του ελλειψοειδούς προτύπου στα αντίστοιχα αποτελέσματα του σφαιροειδούς και του σφαιρικού προτύπου, απέδωσε χρήσιμα ποιοτικά συμπεράσματα ως προς τη σύγκριση των χρησιμοποιούμενων γεωμετρικών προτύπων. Ειδικότερα, όπως αποδείχτηκε, η αύξηση της ανισοτροπίας του προτύπου αντιστοιχεί στην εμφάνιση στα αποτελέσματα για τα εξωτερικά πεδία, της συνοριακής επιφάνειας του αγωγού, η οποία απουσιάζει από τα αντίστοιχα αποτελέσματα του πλήρως ισότροπου σφαιρικού αγωγού. Επιπλέον προσδιορίστηκε ο τρόπος με τον οποίο η πηγή εισέρχεται στον τετραπολικό όρο της μαγνητικής επαγωγής στα τρία πρότυπα, μέσω της ροπής, τροποποιημένης όπου χρειάζεται, και της θέσης της. Συνέπεια τούτου ήταν ο προσδιορισμός των μαγνητικά σιωπηλών πηγών σε κάθε πρότυπο, όπου αποδείχτηκε ότι μία πηγή που έχει προσανατολισμό κάθετο στην επιφάνεια του εκάστοτε αγωγού στο σημείο που ορίζει το διάνυσμα θέσης της, είναι σιωπηλή, δηλαδή δεν παράγει μαγνητικό πεδίο μετρήσιμο εξωτερικά του αγωγού. Τέλος, η διατριβή περιλαμβάνει μελέτη της ελλειψοειδούς γεωμετρίας και ανάλυσης του ελλειψοειδούς συστήματος συντεταγμένων, καθώς και εμβάθυνση στη διαδικασία αναγωγής αυτής της γεωμετρίας στη σφαιροειδή και στη σφαιρική. Ειδικά μελετώνται γεωμετρικές και αναλυτικές σχέσεις σύνδεσης του ελλειψοειδούς με το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, με σκοπό την βαθύτερη κατανόηση των αποτελεσμάτων της διατριβής στα αντίστοιχα πρότυπα, αλλά και των δυνατοτήτων εκμετάλλευσης τους στη μελλοντική αντιμετώπιση των αντιστρόφων προβλημάτων του Βιοηλεκτρομαγνητισμού.