ΜΙΑ ΝΕΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΧΑΜΙΛΤΩΝΙΑΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Abstract

APPLYING THE PAINLEYE TEST (P.T.) FOR PARTIAL DIFFERETIAL EQUATIONS FOR THE FIRST TIME TO THE HAMILTON-JACOBI EQUATION OF TWO-DEGREES OF FREEDOM HAMILTONIAN SYSTEMS, A HIERARCHY OF HIGHLY NONLINEAR EQUATIONS SATISFIED BY THE POTENTIAL FUNCTION OF THESE SYSTEMS IS DERIVED. USING THESE EQUATIONS AS CONDITIONS FOR INTEGRABILITY WE IDENTIFY FOR A NUMBER OF POTENTIALS OF POLYNOMIAL TYPE (HENON -HEILES QUARTIC AND SEXTIC) CRITICAL PARAMETER VALUES FOR WHICH THE CORRESPONDING HAMILTONIAN SYSTEMS ARE PAINLEVE INTEGRABLE (P.I) FOR A POLYNOMIAL POTENTIAL FUNCTION WHICH IS NOT P.I THE CONDITIONS GIVE PRECISELY THE PARAMETER VALUE FOR WHICH THE SYSTEM HAS REGULAR BEHAVIOR. APPLYING THE FIRST AND SIMPLEST NONLINEAR EQUATION TO THE RESTRICTED CIRCULAR THREE BODY PROBLEM (A NON - POLYNOMIAL POTENTIAL FUNCTION) WE HAVE AN INDICATION OF THE KNOWN STABILITY REGION DETERMINED BY THE PARAMETER M WHERE THE CRITICAL VALUE 0,0385 IS IMPRESSIVELY REVEALED. A DIRECT ATTEMPT TO SOLVE THE FIRST EQUATION OF THE HIERARCHY GAVE THE OBVIOUS SOLUTION OF A ROTATIONAL INVARIANT POTENTIAL FUNCTION ANA A NEW CLASS OF POTENTIALS WHICH GIVE REGULAR SCATTERING BEHAVIOR.

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ TEST PAINLEVE ΓΙΑ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΡΩΤΗ ΦΟΡΑ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ HAMILTON, JACOBI ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΠΡΟΕΚΥΨΕ ΜΙΑ ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΨΗΛΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΛΗΡΕΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΑΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ, ΒΡΗΚΑΜΕ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΑΡΙΘΜΟ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ, ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ ΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΑ ΚΑΤΑ PAINLEVE (P.I). ΓΙΑ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Η ΟΠΟΙΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ (P.I.) ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΔΩΣΑΝ ΑΚΡΙΒΩΣ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕXEI ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ. ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΡΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ (ΜΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ) ΠΗΡΑΜΕ ΕΝΔΕΙΞΗ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΤΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ Μ, ΟΠΟΥ Η ΤΙΜΗ 0,0385 ΕΝΤΟΠΙΣΘΗΚΕ ΕΠΙΤΥΧΩΣ. Η ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΠΡΩΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΡΧΙΑΣ ΕΔΩΣΕ ΤΗΝ ΠΡΟΦΑΝΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΝΑ ΝΕΟ ΣΥΝΟΛΟ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΕΧΟΥΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΣΚΕΔΑΣΗ.