Modeling and simulation of the dynamical response of coaxial magnetic gear transmissions admitting computationally lighweight and robust solutions for torque modelling and power losses

Abstract

Coaxial magnetic gears (CMGs) have been of great interest amongst researchers and the industry since their introduction two decades ago. Magnetic gears possess significant advantages compared to mechanical gears such as higher performance in terms of attained speeds, versatility, vibration attenuation, backdrivability and efficiency. However, some drawbacks limit their wide adoption in the industry. Even with the use of rare-earth permanent magnets and implementing sophisticated designs the torque density of magnetic gears is significantly lower compared to mechanical gears. Increasing the torque density is a major issue in magnetic drivetrains and has been extensively discussed in the literature. However, the calculation of the torque is typically performed through FEA and/or numerical methods, thus increasing the computational cost for optimization processes. Furthermore, slippage that occurs during transient operation of CMG drives is a phenomenon that should be thoroughly investigated since it limits their operation when high acceleration/deceleration is present. The analysis of slippage in the literature has been conducted by mainly implementing FE transient simulations or with other iterative methods, without giving additional insights on the complex dynamical phenomena of CMGs and with high computational cost. Finally, power losses due to eddy current and core losses are a significant drawbacks in CMG drives and should be examined since high values of power losses could lead to excess heat that could increase the temperature of the system leading to degradation of the permanent magnets and the CMG as a whole. The power losses are usually calculated implementing FE transient simulations that require high computational cost and therefore limiting optimization methods aiming towards the reduction of eddy current and core losses. The objective of this thesis is to introduce two analytical 2D models for fast and efficient calculation of the applied torques for every rotation angle, geometry configuration and constitutive parameters of the magnets using the Maxwell Stress Tensor. The first model refers to the standard CMG drive, while the second to the Halbach-array CMG drive, due to its comparative advantages. The results obtained from the models were compared against those obtained from FEA. The calculated torques at the inner and outer rotor were in perfect agreement with FEA, however the analytical models were more than two orders of magnitude faster. In addition, an analytical calculation of the torque ripple in coaxial magnetic gear drives is made possible using the proposed models. An investigation of the influence of the modulator ring on stall torque was performed illustrating that there is an optimum arc length for the ferromagnetic segment to maximize torque density. Furthermore, the dynamical equations of the coaxial magnetic gear drive were formulated and a model was developed to simulate the dynamical response of the system without the requirement of torque calculation at each time step that significantly decreases computational cost. The slippage phenomenon was thoroughly investigated in the present thesis. It was demonstrated that the governing equations of the dynamical response of the coaxial magnetic gear are the same with the dynamical equation of the driven pendulum. A non-dimensional criterion was formulated for the prediction of the dynamical behavior of the CMG drive during transient operation. Finally, it was demonstrated that the dynamical response of the CMG drive could exhibit chaotic behavior under certain conditions. With the developed analysis, besides the significant reduction of the computational cost important insights regarding the complex dynamical phenomena during the operation of CMG drives are obtained. Moreover, a detailed analysis regarding the calculation of power losses during the operation of CMGs has been conducted. Using the analytical calculation of the magnetic induction the eddy current losses in the permanent magnets of the CMG and the core losses on the modulator ring were obtained. An investigation on the effect of the magnet segmentation to the power losses was conducted, illustrating that eddy current losses can be significantly reduced by applying this technique. Finally, a detailed design of a CMG drive is presented showcasing the important designs aspects for manufacturing a robust and efficient CMG drive. A detailed analysis regarding the bearing tolerances and their subsequent effect on the natural frequencies of the CMG drive is conducted illustrating its significance as a design aspect.

Τα ομοαξονικά συστήματα μαγνητικής μετάδοσης κίνησης (coaxial magnetic gears) έχουν προκαλέσει μεγάλο ενδιαφέρον στους ερευνητές και τη βιομηχανία από την εισαγωγή τους πριν από δύο δεκαετίες. Τα ομοαξονικά συστήματα μαγνητικής μετάδοσης κίνησης διαθέτουν σημαντικά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με τα μηχανικά όπως υψηλότερη απόδοση όσον αφορά τις ταχύτητες που επιτυγχάνονται, μειωμένο θόρυβο και φθορά, μικρότερο κόστος συντήρησης, ενώ δεν απαιτείται λίπανση. Ωστόσο, ορισμένα μειονεκτήματα περιορίζουν την ευρεία υιοθέτησή τους στη βιομηχανία. Ακόμη και με τη χρήση μόνιμων μαγνητών σπάνιας γαίας και την υλοποίηση πολύπλοκων σχεδιασμών, η πυκνότητα ροπής των μαγνητικών μεταδόσεων είναι σημαντικά χαμηλότερη σε σύγκριση με τις μηχανικές μεταδόσεις. Η αύξηση της πυκνότητας ροπής αποτελεί ένα σημαντικό ζήτημα στις μαγνητικές μεταδόσεις και έχει αναφερθεί εκτενώς στην βιβλιογραφία. Ωστόσο, ο υπολογισμός της ροπής συνήθως γίνεται μέσω μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων (FEA) και/ή αριθμητικών μεθόδων, αυξάνοντας έτσι το υπολογιστικό κόστος για τις διαδικασίες βελτιστοποίησης. Επιπλέον, η ολίσθηση που συμβαίνει κατά την μεταβατική λειτουργία είναι ένα φαινόμενο που πρέπει να ερευνηθεί εκτενώς καθώς περιορίζει τη λειτουργία των μαγνητικών μεταδόσεων όταν υπάρχει υψηλή επιτάχυνση/επιβράδυνση. Η ανάλυση της ολίσθησης στη βιβλιογραφία έχει γίνει κυρίως μέσω της υλοποίησης προσομοιώσεων FEA μεταβατικής κατάστασης ή με άλλες αριθμητικές μεθόδους, χωρίς να δίνουν πρόσθετες πληροφορίες για τα πολύπλοκα δυναμικά φαινόμενα και με υψηλό υπολογιστικό κόστος. Τέλος, οι απώλειες ισχύος λόγω δινορευμάτων αποτελούν σημαντικά μειονεκτήματα και πρέπει να εξεταστούν καθώς υψηλές τιμές απωλειών ισχύος μπορεί να οδηγήσουν σε υπερβολική παραγωγή θερμότητας που μπορεί να αυξήσει τη θερμοκρασία του συστήματος οδηγώντας σε υποβάθμιση των μόνιμων μαγνητών και του συστήματος συνολικά. Οι απώλειες ισχύος συνήθως υπολογίζονται υλοποιώντας προσομοιώσεις FEA μεταβατικής κατάστασης που απαιτούν υψηλό υπολογιστικό κόστος και κατά συνέπεια περιορίζουν τις μεθόδους βελτιστοποίησης που στοχεύουν στη μείωση των δινορευμάτων.Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την μελέτη και την μοντελοποίηση ομοαξονικών συστημάτων μαγνητικής μετάδοσης κίνησης . Στην παρούσα διατριβή αναπτύχθηκε ένα καινοτόμο αναλυτικό μοντέλο για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου και των εφαρμοζόμενων ροπών για κάθε γωνία περιστροφής. Για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις Maxwell ενώ για τον υπολογισμό της ροπής ο Τανυστής Maxwell. Επιπλέον, αποδείχτηκε ότι η ροπή σε οποιαδήποτε σχετική θέση των δυο ροτόρων μπορεί να υπολογιστεί συναρτήσει της γωνίας περιστροφής τους και της μέγιστης ροπής (stall torque). Οι υπολογισθείσες ροπές επαληθεύτηκαν με υπολογιστικά πακέτα πεπερασμένων στοιχείων του εμπορίου (ANSYS Maxwell). Το μοντέλο αυτό γενικεύτηκε για την περίπτωση των ομοαξονικών συστημάτων μαγνητικής μετάδοσης κίνησης με την χρήση διατάξεων Halbach (Halbach-array coaxial magnetic gears). Με την χρήση της διάταξης αυτής, γίνεται δυνατή η επίτευξη υψηλότερης πυκνότητας ροπής σε σχέση με την περίπτωση του απλού μαγνητικού συστήματος. Στην διατριβή έγινε ο αναλυτικός υπολογισμός της ροπής που θα ασκηθεί για κάθε σχεδιασμό της διάταξης Halbach. Επιπλέον, αποδείχτηκε ότι σχέση που συνδέει τις ροπές στους δυο ρότορες με την μέγιστη ροπή και τις σχετικές γωνίες είναι ίδιος με την περίπτωση του απλού μαγνητικού συστήματος. Με τον τρόπο αυτό μπορεί εύκολα να πραγματοποιηθεί η βελτιστοποίηση της διάταξης των ομοαξονικών μαγνητικών συστημάτων μετάδοσης κίνησης για την επίτευξη της μέγιστης δυνατής πυκνότητας ροπής με μεγάλη ακρίβεια και χαμηλό υπολογιστικό κόστος λόγω του αναλυτικού τρόπου επίλυσης του φαινομένου. Στην συνέχεια, σημαντική βαρύτητα δόθηκε στην μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς των ομοαξονικών συστημάτων μαγνητικής μετάδοσης κίνησης καθώς η ολίσθηση (slippage) αποτελεί σημαντικό πρόβλημα σε αυτές τις μεταδόσεις. Στην βιβλιογραφία ο υπολογισμός της δυναμικής απόκρισης γίνεται συνήθως με την χρήση υπολογιστικών πακέτων τα οποία έχουν μεγάλο υπολογιστικό κόστος. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιώντας το αναλυτικό μοντέλο υπολογισμού των ροπών που περιγράψαμε παραπάνω έγινε δυνατή η κατάστρωση των δυναμικών εξισώσεων του συστήματος με αναλυτική μορφή. Στην συνέχεια δημιουργήθηκε ένα αδιάστατο κριτήριο το οποίο μπορεί να προσδιορίσει την συμπεριφορά που θα έχει το σύστημα χωρίς την ανάγκη επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων με την χρήση αριθμητικών μεθόδων. Επομένως, με το κριτήριο αυτό γίνεται δυνατός ο υπολογισμός της μέγιστης δυνατής επιτάχυνσης που μπορεί να εφαρμοστεί προκείμενου το ομοαξονικό μαγνητικό σύστημα μετάδοσης κίνησης να μην ξεπεράσει το μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα ανάλογα την εφαρμογή που αυτό θα χρησιμοποιηθεί. Αποδείχτηκε ότι η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος κατά την επιτάχυνση είναι παρόμοια με την συμπεριφορά του εκκρεμούς (driven pendulum). Τέλος, δείχθηκε ότι υπό ορισμένες συνθήκες επιτάχυνσης το σύστημα μπορεί να παρουσιάσει χαοτική συμπεριφορά.Έπειτα, έγινε μελέτη των αναπτυσσόμενων δινορευμάτων εξαιτίας των εναλλασσόμενων μαγνητικών πεδίων κατά την περιστροφή του συστήματος. Τα δινορεύματα έχουν ως αποτέλεσμα την αύξηση της θερμοκρασίας του συστήματος γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε υποβάθμιση των μαγνητικών ιδιοτήτων, που θα έχει ως αποτέλεσμα την υποβάθμιση του συστήματος συνολικά. Για το λόγο αυτό η μελέτη των δινορευμάτων είναι σημαντική και απαραίτητα κατά τον σχεδιασμό των ομοαξονικών συστημάτων μαγνητικής μετάδοσης κίνησης. Στην παρούσα διατριβή με την χρήση των αναλυτικών μοντέλων υπολογισμού του μαγνητικού πεδίου για κάθε γωνία περιστροφής των δυο ροτόρων έγινε αναλυτικός υπολογισμός των απωλειών του συστήματος λόγω των δινορευμάτων. Τα αποτελέσματα επαληθεύτηκαν με υπολογιστικά πακέτα πεπερασμένων στοιχείων του εμπορίου (ANSYS Maxwell). Τέλος, δείχθηκε ότι με την χρήση τεχνικών ελασματοποίησης των μαγνητών (magnet segmentation) οι απώλειες των δινορευμάτων μπορούν να μειωθούν σημαντικά.Τέλος, έγινε ο σχεδιασμός ενός ομοαξονικού συστήματος μαγνητικής μετάδοσης κίνησης στο οποίο τονίστηκαν τα σημαντικά σημεία κατά την διάρκεια του σχεδιασμού/κατασκευής. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην επιλογή των κατάλληλων ανοχών των αξόνων και των ρουλεμάν με σκοπό την αποφυγή των επικίνδυνων για την ομαλή λειτουργία ιδιοσυχνοτήτων.