Η κατανόηση της μαθηματικής έννοιας του συνόλου απο μαθητές των τρίων σχολικών βαθμίδων και μελλοντικούς εκπαιδευτικούς

Abstract

The concept of a set is fundamental in mathematics, as “almost every other branch of mathematics relies on set theory as part of its foundation, so it is important to get at least some grounding in set theory before doing other advanced areas of mathematics.” (Tao, 2016). In school mathematics, most concepts are approached without direct reference to the concept of a set. However, the concept of a set is used in various contexts, sometimes inconsistently, resulting in students developing misconceptions (Fischbein & Baltsan, 1998).According to Cantor, “by the word ‘set’ we mean any collection into a whole of definite and distinct objects of our intuition or our thought” (Moschovakis, 1993). Intuitively, we perceive a set as a well-defined collection of distinct objects. In the Greek language, the word ‘set’ is used not only to indicate a collection but also to denote the sum or the number of objects in a collection. Mathematical discourse, including vocabulary, often involves extending or modifying the usage of everyday words, while the development of mathematical discourse should incorporate the integration of everyday language into mathematical discourse (Barwell, 2013).In this dissertation, we investigate the conceptions of primary and secondary education students, as well as prospective teachers, regarding the set concept and the potential influence of the everyday use of the word ‘set’ on the understanding of the set concept. Our research questions are: (a) how do students of different school levels and prospective teachers understand the concept of set, relations between sets, and equivalence between infinite sets, and (b) how is the understanding of the concept of set influenced by the social context? In the first stage of the research, we designed a questionnaire based on the literature (Fischbein & Baltsan, 1998; Tirosh & Tsamir, 1996; Bagni, 2006). The questionnaire was administered to 116 sixth-grade students, 127 ninth-grade students, and 154 twelfth-grade students from various schools in Greece. Subsequently, the questionnaire was given to 245 students – prospective teachers of the Department of Primary Education of Democritus University of Thrace, who had been taught basic concepts and operations of Set Theory within a Foundations of Mathematics course. Our aim was to examine whether misconceptions appear among students that persist despite their systematic engagement with elementary Set Theory. Finally, based on their questionnaire responses, 5 sixth-grade students, 5 ninth-grade students, and 6 twelfth-grade students were selected, and semi-structured, semi-clinical interviews (Elkind, 1964) were conducted to investigate the origin of their perceptions and particularly the influence of different language registers of students (Halliday, 1978).The most common misconceptions among the participants that answered the questionnaire of our study were (1) the perception that the elements of a set should have a common property, (2) the inclusion of indistinct elements in a set, (3) the rejection of the existence of empty sets, (4) the rejection of the existence of singletons, (5) the confusion between equality and equivalence, (6) the confusion of the concepts of belonging and subset, (7) the perception that the number of elements (cardinality) of an infinite set is greater than the number of elements of any proper subset, (8) the perception that infinite sets are incomparable, and (9) the perception that all infinite sets are equivalent. Among students of the three school levels, age seemed to have a positive influence in most cases, but not in all cases. Prospective teachers appeared to have noticeably better results in most questions. However, some of the most prevalent misconceptions observed in students of all three school levels were also observed in prospective teachers. Specifically, the requirement for the elements of a set to have a common property, the confusion between the concepts of belonging and subset, and the perception that infinite sets are incomparable seem to persist despite systematic teaching in Set Theory. Our qualitative analysis revealed that many students, influenced by the use of the term ‘set’ in both the mathematics classroom language register and the everyday language register (Halliday, 1978), appeared to perceive the set as a number rather than a collection, or to have both perceptions simultaneously. Thus, the influence of naming on meaning-making by students becomes apparent (Planas et al., 2022), as well as the need for particular attention from educators at all levels, not only in teaching the concept set of but also in the correct use of the word ‘set’ in the classroom.

H έννοια του συνόλου είναι θεμελιώδης έννοια των Μαθηματικών αφού «σχεδόν κάθε κλάδος των μαθηματικών βασίζεται στη θεωρία των συνόλων ως μέρος της θεμελίωσής του, επομένως είναι σημαντικό να αποκτήσει κανείς τουλάχιστον κάποιες βάσεις στη Θεωρία Συνόλων προτού επιχειρήσει να ασχοληθεί με άλλους κλάδους των μαθηματικών» (Tao, 2016). Στα σχολικά μαθηματικά, οι περισσότερες έννοιες προσεγγίζονται χωρίς άμεση αναφορά στην έννοια του συνόλου. Ωστόσο, η έννοια του συνόλου χρησιμοποιείται σε διάφορα πλαίσια, κάποιες φορές με τρόπο ασυνεπή με αποτέλεσμα οι μαθητές να αναπτύσσουν λανθασμένες αντιλήψεις (Fischbein & Baltsan, 1998). Κατά τον Cantor «με τη λέξη σύνολο εννοούμε μια οποιαδήποτε συνάθροιση σε ολότητα οριστικών και διακεκριμένων στοιχείων της διαίσθησης ή του στοχασμού μας» (Μοσχοβάκης, 1993). Διαισθητικά, το σύνολο, το αντιλαμβανόμαστε ως μια συλλογή καλώς ορισμένων και διακεκριμένων αντικειμένων. Στην Ελληνική γλώσσα η λέξη σύνολο χρησιμοποιείται για να δηλώσει, εκτός από τη συλλογή, το άθροισμα ή το πλήθος των αντικειμένων μιας συλλογής. Ο μαθηματικός λόγος, συμπεριλαμβανομένου του λεξιλογίου, συχνά περιλαμβάνει επέκταση ή τροποποίηση της χρήσης καθημερινών λέξεων, ενώ η ανάπτυξη του μαθηματικού λόγου θα πρέπει να περιλαμβάνει την ενσωμάτωση της καθημερινής γλώσσας στον μαθηματικό λόγο της τάξης (Barwell, 2013). Στην παρούσα διατριβή διερευνούμε τις αντιλήψεις μαθητών της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και μελλοντικών εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, για την έννοια του συνόλου και την ενδεχόμενη επίδραση της καθημερινής χρήσης της λέξης ‘σύνολο’ στη νοηματοδότηση αυτής της της έννοιας. Τα ερευνητικά μας ερωτήματα είναι: (α) πώς κατανοούν μαθητές διαφορετικών σχολικών βαθμίδων και μελλοντικοί εκπαιδευτικοί την έννοια του συνόλου, τις σχέσεις συνόλων, καθώς και την ισοπληθικότητα μεταξύ απειροσυνόλων και (β) πώς η νοηματοδότηση της έννοιας του συνόλου επηρεάζεται από το κοινωνικό πλαίσιο; Στο πρώτο στάδιο της έρευνας, σχεδιάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με βάση τη βιβλιογραφία (Fischbein & Baltsan, 1998 Tirosh & Tsamir, 1996 Bagni, 2006), το οποίο χορηγήθηκε σε 116 μαθητές της ΣT΄ Δημοτικού, 127 μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου και 154 της Γ΄ Λυκείου από διάφορα σχολεία της Ελλάδας. Στην συνέχεια, δώσαμε το ερωτηματολόγιο σε 245 φοιτητές ενός Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης, οι οποίοι είχαν διδαχθεί βασικά στοιχεία της Θεωρίας Συνόλων στο πλαίσιο του μαθήματος «Θεμέλια των Μαθηματικών». Στόχος μας ήταν η διερεύνηση της ύπαρξης παρανοήσεων μεταξύ των φοιτητών οι οποίες επιμένουν ακόμη και μετά την συστηματική εμπλοκή τους με την στοιχειώδη Θεωρία Συνόλων στο Πανεπιστήμιο. Με βάση τις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο, επιλέχθηκαν 5 μαθητές της ΣΤ΄ Δημοτικού, 5 μαθητές Γ΄ Γυμνασίου και 6 μαθητές της Γ΄ Λυκείου και πραγματοποιήθηκαν ημι-δομημένες, ημι-κλινικές συνεντεύξεις (Elkind, 1964) με στόχο τη διερεύνηση της προέλευσης των αντιλήψεων τους και ιδιαίτερα της επίδρασης του διαφορετικών γλωσσικών ιδιωμάτων των μαθητών (Halliday, 1978). Οι συχνότερες παρανοήσεις που εμφανίστηκαν μεταξύ των συμμετεχόντων που απάντησαν στο ερωτηματολόγιο της έρευνας μας ήταν (1) η αντίληψη ότι τα στοιχεία ενός συνόλου θα πρέπει να έχουν κάποια κοινή ιδιότητα, (2) η αποδοχή της συμπερίληψης μη διακεκριμένων στοιχείων, (3) η απόρριψη της ύπαρξης κενού συνόλου, (4) η απόρριψη της ύπαρξης μονοσυνόλων, (5) η σύγχυση της ισότητας με την ισοπληθικότητα, (6) η σύγχυση των εννοιών του ανήκειν και του υποσυνόλου, (7) η αντίληψη ότι το πλήθος των στοιχείων ενός απειροσυνόλου είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των στοιχείων κάθε γνήσιου υποσυνόλου του, (8) η αντίληψη ότι τα απειροσύνολα είναι μη-συγκρίσημα και (9) η αντίληψη ότι όλα τα απειροσύνολα είναι ισοπληθικά.Μεταξύ των μαθητών των τριών σχολικών βαθμίδων η επίδραση της ηλικίας φάνηκε να είναι θετική στις περισσότερες περιπτώσεις αλλά όχι σε όλες. Οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί, φάνηκε να έχουν αισθητά καλύτερα αποτελέσματα στην πλειοψηφία των ερωτήσεων. Ωστόσο, ορισμένες από τις επικρατέστερες λανθασμένες αντιλήψεις οι οποίες παρατηρούνται σε μαθητές και των τριών σχολικών βαθμίδων, παρατηρούνται και στους φοιτητές-μελλοντικούς δασκάλους. Συγκεκριμένα η απαίτηση από τα στοιχεία ενός συνόλου να έχουν μία κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα, η σύγχυση των εννοιών του ανήκειν και του υποσυνόλου και η αντίληψη ότι τα απειροσύνολα είναι μη συγκρίσιμα, φαίνεται να διατηρείται παρά την συστηματική διδασκαλία στη Θεωρία Συνόλων. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων από τις συνεντεύξεις ανέδειξε ότι πολλοί μαθητές, επηρεασμένοι από τη χρήση του όρου ‘σύνολο’ στο γλωσσικό ιδίωμα της σχολικής τάξης των Μαθηματικών και στα καθημερινά γλωσσικά ιδιώματα (Halliday, 1978), αντιλαμβάνονται το σύνολο ως αριθμό και όχι ως συλλογή ή έχουν και τις δύο αντιλήψεις ταυτόχρονα. Γίνεται λοιπόν εμφανής η επιρροή της ονοματοδοσίας στην απόδοση νοήματος από τους μαθητές (Planas et al., 2022̇ Adler & Ronda, 2015) αλλά και η απαίτηση για ιδιαίτερη προσοχή από τους εκπαιδευτικούς όλων των βαθμίδων, όχι μόνο κατά τη διδασκαλία της έννοιας του συνόλου αλλά γενικότερα στη σωστή χρήση της λέξης ‘σύνολο’ στη σχολική τάξη.