Μηχανές δημιουργίας γεωμετρικών καμπυλών και εφαρμογή τους στη διδακτική πράξη

Abstract

In this research, a brief historical review of mathematical machines and mechanisms is first presented, finally focusing on the two historical 17th century parabolographs designed and constructed by Bonaventura Franciscus Cavalieri and Frans van Schooten. The two mechanisms were analyzed, simulated and reconstructed. Through dynamic geometry software, extensions and possibilities of the mechanisms that are not apparent were sought. With apparent elements of the van Schooten parabolic graph, the local curvature of the drawn parabolic arc was calculated, The inverse tangent problem solved geometrically by the van Schooten parabolograph was formulated, solving essentially the corresponding differential equation. Confirmed mechanically the equivalence of the definitions of the parabola which they involve making them mechanically equivalent, By the mediation of the two mechanisms, the concept of parabola was learned to a section of the 10thgrade class which was divided into two groups. Two planned four-hour experimental lessons were carried out in the attendance school. Individual results were analyzed qualitatively and quantitatively, focusing on two cognitive indicators and three cognitive structure indicators through activities that were initially converted into ordinal variables without special weighting. A nonparametric test of the median of each of the five qualitative indicators was also conducted for each group. A non-parametric test of the correlation between the cognitive indicators and the activity indicators of each group was also performed. The two cognitive and the three structure indicators through activities provided a more complete picture of each student's level of understanding, and a more complete process for assessing how they understand. The role of mathematical machines consisting of rigid modular rods, as well as dynamic geometry software, as cognitive bridges between empirical justification and deductive reasoning is highlighted. Mechanical linkages and their dynamic simulations emerge, from this research, as suitable contexts for bridging empirical and deductive reasoning, as balanced linking tools in the teaching of Algebra and Geometry in secondary education at least.

Στην παρούσα έρευνα γίνεται αρχικά μία σύντομη ιστορική αναδρομή των μαθηματικών μηχανών και μηχανισμών, εστιάζοντας τελικά στους δύο ιστορικούς παραβολογράφους του 17ου αιώνα που σχεδιάστηκαν και κατασκευάστηκαν από τον Bonaventura Franciscus Cavalieri και τον Frans van Schooten. Οι δύο μηχανισμοί αναλύθηκαν, προσομοιώθηκαν και ανακατασκευάστηκαν. Μέσω λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας αναζητήθηκαν προεκτάσεις και δυνατότητες των μηχανισμών που δεν είναι εμφανείς. Με εμφανή στοιχεία του παραβολογράφου van Schooten υπολογίστηκε η τοπική καμπυλότητα του χαρασσόμενου παραβολικού τόξου, Διατυπώθηκε το αντίστροφο εφαπτομενικό πρόβλημα που επιλύει γεωμετρικά ο παραβολογράφος van Schooten, ουσιαστικά επιλύοντας την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση. Επιβεβαιώθηκε μηχανολογικά η ισοδυναμία των ορισμών της παραβολής που ενσωματώνουν, καθιστώντας τους μηχανολογικά ισοδύναμους, Με την διαμεσολάβηση των δύο μηχανισμών διδάχτηκε η έννοια της παραβολής σε τμήμα της Β΄λυκείου το οποίο χωρίστηκε σε δύο ομάδες. Πραγματοποιήθηκαν δύο σχεδιασμένες τετράωρες πειραματικές διδασκαλίες στον χώρο του σχολείου φοίτησης. Τα ατομικά αποτελέσματα αναλύθηκαν ποιοτικά και ποσοτικά, εστιάζοντας σε δύο γνωστικούς δείκτες και σε τρεις δείκτες γνωστικής δομής μέσω δραστηριοτήτων, που αρχικά μετετράπησαν σε διατακτικές μεταβλητές χωρίς ιδιαίτερη στάθμιση. Επίσης, για κάθε ομάδα πραγματοποιήθηκε μη παραμετρικός έλεγχος της διαμέσου κάθε ενός από τους πέντε ποιοτικούς δείκτες. Πραγματοποιήθηκε και μη παραμετρικός έλεγχος συσχέτισης των γνωστικών δεικτών με τους δείκτες των δραστηριοτήτων της κάθε ομάδας. Οι δύο γνωστικοί δείκτες και οι τρεις δείκτες γνωστικής δομής μέσω δραστηριοτήτων, έδωσαν μία πληρέστερη εικόνα του επιπέδου κατανόησης κάθε μαθητή και μαθήτριας, αλλά και μία πληρέστερη διαδικασία αξιολόγησης του τρόπου που κατανοούν. Αναδεικνύεται ο ρόλος των μαθηματικών μηχανών, που αποτελούνται από άκαμπτες αρθρωτές ράβδους, καθώς και του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας, ως γνωστικών γεφυρών μεταξύ της εμπειρικής δικαιολόγησης και της παραγωγικής συλλογιστικής. Οι μηχανικές συνδέσεις (linkages) και οι δυναμικές προσομοιώσεις τους αναδεικνύονται ως κατάλληλα πλαίσια γεφύρωσης εμπειρικών και παραγωγικών συλλογισμών, καθώς και ως εργαλεία ισόρροπης σύνδεσης στην διδασκαλία Άλγεβρας και Γεωμετρίας τουλάχιστον στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση.