Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ελαστικών κυμάτων σε ομογενές κατά τμήματα μέσο

Abstract

In this thesis, we investigate boundary value problems involving Navier equation both in deterministic and stochastic invironment. Initially, we focus on the direct elastic scattering problem posed by a piecewise impedance obstacle. Specifically, we consider a scatterer embedded in a homogeneous medium, which is piecewise coated with different impedance constants on distinct parts of its boundary. The uniqueness of the solution is established through the variational formulation of the problem, while the existence and regularity properties of the solution are demonstrated using the boundary integralequation approach. Notably, our approach relies on representing the solution as a combination of single and double layer potentials, leading to existence results as well as to an essential regularity result. Additionally, significant remarks and conclusions are provided to enhance the understanding of the problem. Next, we address the direct and inverse scattering problem of time-harmonic elastic waves by an inhomogeneous medium, containing buried objects. Initially, we establish well-posedness for the direct scattering problem through a modified variational method within a suitable Sobolev space setting. We prove uniqueness, existence, and continuous dependence of the solution on the boundary data associated with the buried obstacles. Subsequently, we delve into the corresponding inverse problem, particularly exploring, via the modified factorization method, for shape reconstruction and location of the support of the inhomogeneous medium. Our study also includes pertinent remarks and conclusions, focusing on the interconnection between the direct scattering problem and its inverse counterpart in elastic media. Finally, we study two stochastic boundary value problems arising in linear elasticity through a Wiener chaos expansion, in order to show the feasibility of the method and proceed in future paper to the study of a stochastic scattering problem in a piecewise homogeneous medium. Specifically, we establish an appropriate variational formulation for Navier equation with stochastic boundary data . The key idea is to reduce the stochastic problems into an infinite hierarchy of deterministic boundary value problems, where each problem is treated with an appropriate variational formulation. Subsequently, we establish well-posedness for this hierarchy of deterministic problems, establish the relevant connection to the stochastic problem, and employ uniqueness and existence arguments for the weighted Wiener chaos solution. Afterwards, we address a boundary value problem concerning the non homogeneous Navier equation where both the right hand side of the equation as well as the boundary data are given as Wiener chaos expansions, using similar reasoning, i.e the reduction of the problem into an infinite hierarchy of deterministic ones. As in the previous cases, valuable remarks and conclusions are included to further illuminate the topic at hand.

Σε αυτήν τη διατριβή μελετούμε προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν την εξίσωση Navier τόσο σε ντετερμινιστικό όσο και σε στοχαστικό περιβάλλον. Αρχικά, επικεντρωνόμαστε σε πρόβλημα συνοριακών τιμών που μαθηματικά μοντελοποιεί ένα ευθύ πρόβλημα σκέδασης στη γραμμική ελαστικότητα θεωρώντας χρονική αρμονική εξάρτηση, που αφορά σε ένα εμπόδιο με τμηματική εμπέδηση. Ειδικότερα, λαμβάνουμε υπόψη έναν σκεδαστή που βρίσκεται σε ένα ομογενές μέσο με σύνορο κατά τμήματα επικαλυμμένο, με διαφορετικές σταθερές εμπέδησης στο κάθε τμήμα. Η μοναδικότητα της λύσης θεμελιώνεται μέσω της μεταβολικής διατύπωσης του προβλήματος, ενώ η ύπαρξη της λύσης αποδεικνύεται με τη μέθοδο ολοκληρωτικών συνοριακών εξισώσεων. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η προσέγγισή μας βασίζεται στο να αναπαρασταθεί η λύση ως γραμμικός συνδυασμός δυναμικών απλούκαι διπλού στρώματος, αποδεικνύοντας την ύπαρξη λύσης καθώς και ένα βασικό αποτέλεσμα ευστάθειας. Επιπλέον, παρέχονται σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα για να ενισχυθεί η κατανόηση του προβλήματος.Στη συνέχεια, ασχολούμαστε με το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης χρονικά αρμονικών ελαστικών κυμάτων από ένα μη ομογενές μέσο που περιέχει θαμμένα αντικείμενα-σκεδαστές. Αρχικά, θεμελιώνουμε την καλή−τοποθέτηση του ευθέος προβλήματος μέσω μιας τροποποιημένης μεταβολικής μεθόδου σε κατάλληλους συναρτησιακούς χώρους Sobolev. Αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα, την ύπαρξη και τη συνεχή εξάρτηση της λύσης από ταδεδομένα στο σύνορο των θαμμένων αντικειμένων (σκεδαστών). Έπειτα, θεωρούμε το αντίστοιχο αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης και χρησιμοποιώντας κατάλληλη τροποποιημένη μέθοδο παραγοντοποίησης (modified factorization method) δίνουμε αποτελέσματα για την ανακατασκευή του σχήματος και τον εντοπισμό των στρωμάτων του μη ομογενούς μέσου. Η μελέτη μας περιλαμβάνει ακόμη σχετικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα, εστιάζονταςστη σύνδεση μεταξύ του ευθέος προβλήματος σκέδασης και του αντίστοιχου αντιστρόφου σε ελαστικά μέσα. Στη συνέχεια της διδακτορικής διατριβής, μελετούμε δύο στοχαστικά προβλήματα συνοριακών τιμών που προκύπτουν στη γραμμική ελαστικότητα χρησιμοποιώντας αναπτύγματα Wiener chaos, ώστε να καταδειχθεί η εφαρμοσιμότητα της μεθόδου αυτής και σε μελλοντική εργασία να μελετηθεί στοχαστικό πρόβλημα σκέδασης σε ομογενές κατά τμήματα μέσο. Ειδικότερα, θεμελιώνουμε κατάλληλη μεταβολική διατύπωση προβλήματος για την εξίσωση Navier, με τα συνοριακά δεδομένα να εκφράζονται ως ανάπτυγμα Wiener chaos. Η βασική ιδέα είναι να ανάγουμε το στοχαστικό πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών συνοριακών προβλημάτων, όπου χειριζόμαστε κάθε πρόβλημα της ιεραρχίας με την κατάλληλη μεταβολική του διατύπωση. Θεμελιώνουμε την καλή τοποθέτηση για κάθε ένα πρόβλημα από την ιεραρχία αυτή, παρουσιάζουμε τη σύνδεση με το στοχαστικό πρόβλημα και διατυπώνουμε επιχειρήματα μοναδικότητας και ύπαρξης για τη λύση ως σταθμισμένο ανάπτυγμα Wiener chaos (weighted Wiener chaos expansion). Τέλος, εφαρμόζουμε την ίδια μεθοδολογία, δηλαδή αυτή της αναγωγής σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων, σε ένα στοχαστικό πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη μη ομογενή εξίσωση Navier, όπου τόσο το δεύτερο μέλος της εξίσωσης όσο και τα συνοριακά δεδομένα εκφράζονται υπό μορφή αναπτύγματος Wiener chaos. Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, περιλαμβάνονται σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα αναδεικνύοντας τη χρησιμότητα της μεθόδου.