Ανάπτυξη ρευστομηχανικών μοντέλων προσομοίωσης και αλγορίθμων ποσοτικοποίησης αβεβαιοτήτων για αιμοδυναμικές ροές του ανθρώπινου οφθαλμού

Abstract

The subject of this doctorate thesis is the implementation of Uncertainty Quantification (UQ), a relatively recently developed mathematical method, in the broader field of Biomedical Sciences. More specifically, this doctoral dissertation, moving within the framework of Computational Fluid Dynamics (CFD) and Vascular Engineering, focuses on modeling, simulating and investigating disturbances and uncertainties in the human ocular vascular network. It is there that its scientific originality and innovative contribution are located, as - as far as we know - it is the first time in the international literature that this mathematical method is applied to the vascular network of the human eye.It is generally known that numerous ocular diseases are attributed to disturbances in the ocular hemodynamic flows. Invasive and non-invasive imaging of part of the vascular network of the eye has solved some questions regarding the pathology of ocular diseases. However, despite the progress of clinical trials, questions remain about the pathophysiology and causes of these diseases. Uncertainty Quantification has proved to be, for a few years now, a widespread and ideal tool in the Biomedical Sciences for the study of blood flow disorders, with proven usefulness in both research studies and clinical practice. So far it has been applied mostly in the cardiovascular network, in the neural network and in other brain structures, while the orthopedic applications of UQ (anatomical and prosthetic implants) are also remarkable. However, as stated above, there is a complete lack of UQ applications in the human ocular vascular network in the international literature. This gap is being filled by this dissertation.Human hemodynamic modeling is usually influenced by uncertainties resulting from the substantial lack of data related to the boundary conditions and physical parameters used in mathematical models. Quantifying the effect of these uncertainties on the numerical results along the vascular network is a demanding process due to both the morphology and the labyrinthine geometric complexity of the network in question, as well as the conditions of local dynamics. To address all these difficulties, the mathematical method of uncertainty quantification (UQ) proves to be the most suitable for application, due to its overall mathematical formalism and the introduction of a probabilistic distribution for the values of the physical variables and parameters involved.As part of this approach, an attempt is made to identify the physical quantities of interest and those critical parameters that affect hemodynamic stability in this ocular vascular network. Further, a “low cost” algorithm for calculating steady state flows under conditions of uncertainty is developed and presented. To form the generalized problem described by the uncompressed Navier-Stokes equation, standard methods such as Polynomial Chaos (PC) extensions and Monte Carlo simulations are used. In addition, since nonlinear terms are involved for each calculation of the parametric uncertainty space, a gradually increasing iterative process is adopted. The algorithm is then applied to some common flow topologies and its dependence on the uncertainty parameter space and the size of the numerical field is studied. Finally, the possible emergence of safety margins in these critical natural quantities is investigated, always by non-invasive methods.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει ως αντικείμενο μελέτης την εφαρμογή της Ποσοτικοποίησης Αβεβαιοτήτων (Uncertainty Quantification - UQ), μιας σχετικά προσφάτως αναπτυχθείσας μαθηματικής μεθόδου, στο ευρύτερο γνωσιακό πεδίο των Βιοϊατρικών Επιστημών. Πιο συγκεκριμένα, η παρούσα διδακτορική διατριβή, κινούμενη εντός των πλαισίων της Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (Computational Fluid Dynamics - CFD) και της Αγγειακής Μηχανικής, επικεντρώνεται στο να μοντελοποιήσει, να προσομοιάσει και να διερευνήσει τις διαταραχές και τις αβεβαιότητες στις αιματικές ροές μέσα σ’ ένα πολύ ιδιόμορφο ανθρώπινο αγγειακό δίκτυο: το οφθαλμικό. Εκεί άλλωστε εντοπίζεται η επιστημονική πρωτοτυπία της και η καινοτόμα συνεισφορά της, καθώς -εξ όσων γνωρίζουμε- είναι η πρώτη φορά στη διεθνή βιβλιογραφία που εφαρμόζεται η συγκεκριμένη μαθηματική μέθοδος στο αγγειακό δίκτυο του ανθρώπινου οφθαλμού.Είναι γενικά γνωστό ότι πολυάριθμες οφθαλμικές παθήσεις αποδίδονται σε διαταραχές των αιμοδυναμικών ροών του οφθαλμού. Η επεμβατική και μη απεικόνιση μέρους του αγγειακού δικτύου του οφθαλμού έχει επιλύσει κάποια ερωτήματα, όσον αφορά τη θεραπεία κάποιον οφθαλμικών ασθενειών. Όμως, παρά την πρόοδο των κλινικών μελετών εκκρεμούν ακόμα ερωτήματα για την παθοφυσιολογία και τα αίτια των παθήσεων αυτών. Η ποσοτικοποίηση αβεβαιοτήτων ήδη αποτελεί, εδώ και λίγα χρόνια, διαδεδομένο εργαλείο στις Βιοϊατρικές Επιστήμες για τη μελέτη των διαταραχών στις αιματικές ροές, με αποδεδειγμένη χρηστικότητα τόσο σε ερευνητικές μελέτες, όσο και στην κλινική πρακτική. Μέχρι τώρα έχει εφαρμοστεί ως επί το πλείστον στο καρδιαγγειακό δίκτυο, στο νευρωνικό δίκτυο και σε λοιπές εγκεφαλικές δομές, ενώ αξιοσημείωτες είναι και οι ορθοπεδικές εφαρμογές της UQ (ανατομικά και, προσθετικά εμφυτεύματα). Όμως, όπως ειπώθηκε πιο πάνω, στη διεθνή βιβλιογραφία παρατηρείται παντελής έλλειψη εφαρμογών της UQ στο ανθρώπινο οφθαλμικό αγγειακό δίκτυο. Αυτό το κενό έρχεται να πληρώσει η παρούσα διατριβή. Η ανθρώπινη αιμοδυναμική μοντελοποίηση συνηθέστατα επηρεάζεται από αβεβαιότητες οι οποίες απορρέουν από την ουσιαστική έλλειψη δεδομένων που σχετίζονται με τις οριακές συνθήκες και τις φυσικές παραμέτρους που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά μοντέλα. Η ποσοτικοποίηση της επίδρασης αυτών των αβεβαιοτήτων στα αριθμητικά αποτελέσματα κατά μήκος του αγγειακού δικτύου είναι μια απαιτητική διαδικασία λόγω, τόσο της μορφολογίας και της δαιδαλώδους γεωμετρικής πολυπλοκότητας του υπό εξέταση δικτύου, όσο και των συνθηκών της τοπικής δυναμικής. Για την αντιμετώπιση όλων αυτών των δυσκολιών, η μαθηματική μέθοδος της ποσοτικοποίησης αβεβαιοτήτων (UQ) αποδεικνύεται η πλέον κατάλληλη για εφαρμογή, εξ αιτίας του συνολικού της μαθηματικού φορμαλισμού και της εισαγωγής μίας πιθανοθεωρητικής κατανομής για τις τιμές των εμπλεκόμενων φυσικών μεταβλητών και παραμέτρων. Στο πλαίσιο αυτής της προσέγγισης, επιχειρείται ο εντοπισμός των φυσικών ποσοτήτων ενδιαφέροντος και των κρίσιμων παραμέτρων εκείνων, οι οποίες επηρεάζουν την αιμοδυναμική ευστάθεια στο εν λόγω οφθαλμικό αγγειακό δίκτυο. Περαιτέρω, αναπτύσσεται και παρουσιάζεται ένας «χαμηλού υπολογιστικού κόστους» αλγόριθμος για τον υπολογισμό των ροών σταθερής κατάστασης, υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Για τον σχηματισμό του γενικευμένου προβλήματος, που περιγράφεται από την ασυμπίεστη εξίσωση Navier-Stokes, χρησιμοποιούνται τυπικές μέθοδοι όπως οι επεκτάσεις Πολυωνυμικού Χάους (Polynomial Chaos – PC) και οι προσομοιώσεις Monte Carlo. Επιπλέον, από τη στιγμή που για κάθε υπολογισμό του παραμετρικού χώρου αβεβαιοτήτων εμπλέκονται μη γραμμικοί όροι, υιοθετείται μια σταδιακά επαυξανόμενη επαναληπτική διαδικασία. Κατόπιν, ο αλγόριθμος εφαρμόζεται σε ορισμένες συνήθεις τοπολογίες ροών και μελετάται η εξάρτησή του από τον χώρο παραμέτρων αβεβαιότητας και το μέγεθος του αριθμητικού πεδίου. Τέλος, διερευνάται η ενδεχόμενη ανάδειξη περιθωρίων ασφάλειας σε αυτές τις κρίσιμες φυσικές ποσότητες, πάντα με μη επεμβατικές μεθόδους.