Μαθηματική μοντελοποίηση και ανάλυση μικροηλεκτρομηχανικών συστημάτων (MEMS)

Abstract

In the current work, we study a nonlocal parabolic problem with Robin boundaryconditions. The problem arises from the study of an idealized electricallyactuated MEMS (micro-electro-mechanical system) device, when the ends ofthe device are attached or pinned to a cantilever. Initially, the steady-stateproblem is investigated estimates of the pull-in voltage are derived. In particular,a Pohožaev's type identity is also obtained, which then facilitates the derivationof an estimate of the pull-in voltage for radially symmetric N-dimensionaldomains. Next a detailed study of the time-dependent problem is delivered andglobal-in-time as well as quenching results are obtained for generic and radiallysymmetric domains. This part closes with a numerical investigationof the presented nonlocal model via an adaptive numerical method. Variousnumerical experiments are presented, verifying the previously derived analyticalresults as well as providing new insights on the qualitative behavior of thestudied nonlocal model. In the second part we study a stochastic parabolic problem. The presented problem is motivated by the study of an idealized electrically actuated MEMS (Micro-Electro-Mechanical System) device in the case of random fluctuations of the potential difference, a parameter that actually controls the operation of MEMS device. We first present the construction of the mathematical model and then we deduce some local existence results. Next for some particular versions of the model, relevant to various boundary conditions, we derive quenching results as well as estimations of the probability for such singularity to occur. Additional numerical study of the problem in one dimension follows, which also allows the further investigation the problem with respect to its quenching behaviour. Finally we close studying Fractional brownian motion.

Τις τελευταίες δεκαετίες έχει εκδηλωθεί μεγάλο ενδιαφέρον, για προβλήματα συνοριακών τιμών, που περιλαμβάνουν μη-τοπική εξάρτηση από τη λύση τους, λόγω των εφαρμογών τους. Στην παρούσα διατριβή μελετάμε ένα μη τοπικό παραβολικό πρόβλημα (nonlocal parabolic problem) με συνοριακές συνθήκες Robin. Η διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη, το πρώτο μέρος αφορά το ντετερμινιστικό μη τοπικό πρόβλημα με συνθήκες Robin, και στο δεύτερο μέρος το στοχαστικό τοπικό πρόβλημα για γενικές συνοριακές συνθήκες.Όσον αφορά το ντετερμινιστικό μη τοπικό πρόβλημα με συνθήκες Robin αρχικά παρουσιάζεται η παραγωγή για το μη τοπικό πρόβλημα, για τη μονοδιάστατη περίπτωση και εξηγείται επίσης η συσχέτιση αυτού του μοντέλου με τις εφαρμογές στη βιομηχανία MEMS. Ενα κύριο χαρακτηριστικό στη συμπεριφορά των λύσεων ενός προβλήματος τέτοιου τύπου είναι η πιθανότητα απόσβεσης της λύσης. Με τον όρο αυτό εννοούμε ότι η λύση γίνεται μηδέν σε πεπερασμένο χρόνο ενω ταυτόχρονα απειρίζεται κάποια νόρμα της λύσης.Συγκεκριμένα, παράγεται μια νέα μορφή της ταυτότητας Pohozaev για τις συνοριακές συνθήκες Robin, η οποία στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό εκτιμήσεων της κρίσιμης τιμής. Επιπλέον, αναπτύσσεται ένα νέο επιχείρημα, για να πάρουμε μια άνω εκτίμηση του ρυθμού απόσβεσης. Ωστόσο, η παραγωγή μιας βασικής εκτίμησης για τον μη τοπικό όρο, χρειάζεται ιδιαίτερο χειρισμό και επιπλέον μελέτη στην περίπτωση του προβλήματος μας. Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια διεξοδική μελέτη του προβλήματος σταθερής κατάστασης, όπου μεταξύ άλλων αποτελεσμάτων προκύπτουν και κάποιες εκτιμήσεις για το άνω φράγμα της κρίσιμης τιμής της παραμέτρου όπου πάνω από την οποία δεν έχουμε ύπαρξη λύσης του προβλήματος. Η μοναδικότητα και τα αποτελέσματα τοπικής ύπαρξης για το χρονοεξαρτώμενο πρόβλημα συζητούνται στο πρώτο μέρος της διατριβής. Επίσης ασχολείται με τη συμπεριφορά των λύσεων του προβλήματος για μεγάλους χρόνους. Συγκεκριμένα, αρχικά παρουσιάζεται ένα αποτέλεσμα απόσβεσης για ένα γενικό χωρίο, ενώ παράλληλα προκύπτει και ένα πιο ισχυρό αποτέλεσμα απόσβεσης για μια ακτινικά συμμετρική περιοχή. Το πρώτο μέρος κλείνει με μια αριθμητική μελέτη του προβλήματος μέσω μιας μεθόδου προσαρμοζόμενου βήματος. Έτσι επαληθεύουμε αριθμητικά τα αναλυτικά αποτελέσματα που διατυπώσαμε και επιπλέον προσδιορίζουμε το προφίλ απόσβεσης της λύσης και σε περιπτώσεις που δεν μπορεί να προκύψει αυτό μέσω της θεωρητικής μας προσέγγισης. Στη συνέχεια στο δεύτερο μέρος αυτής της διατριβής μελετάμε το στοχαστικό ημιγραμμικό παραβολικό πρόβλημα. Ο κύριος σκοπός του κεφαλάιου είναι διπλός. Αρχικά εξετάζει τις συνθήκες υπό τις οποίες συμβαίνει η απόσβεση για το στοχαστικό πρόβλημα. Στη συνέχεια λαμβάνουμε, χρησιμοποιώντας αναλυτική και αριθμητική προσέγγιση, εκτιμήσεις για την πιθανότητα απόσβεσης καθώς και για τον χρόνο απόσβεσης για το στοχαστικό πρόβλημα και τις εξεταζόμενες παραλλαγές του. Εκτός από την πρακτική του σημασία για τους κατασκευαστές των συσκευών MEMS, μια τέτοια μελέτη έχει τη δική της θεωρητική αξία στο πλαίσιο των ιδιόμορφων στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Επίσης μια αριθμητική προσέγγιση που παρουσιάζεται επαληθεύει μέσω διαφόρων αριθμητικών πειραμάτων τα αναλυτικά αποτελέσματα των προηγούμενων ενοτήτων για μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Τέλος η ενότητα κλείνει με μια εισαγωγική μελέτη για την εκτίμηση του χρόνου απόσβεσης όπως και της πιθανότητας απόσβεσης για το στοχαστικό μοντέλο με την προσθήκη της κλασματικής κίνησης Brown (Fractional Brownian Motion (fbm)) όπως και για ορισμένες από τις παραλλαγές του.