Μελέτη ασαφών συνδέσμων και συνεπαγωγών με εφαρμογές σε συμπερασματικά συστήματα

Abstract

Fuzzy Logic has established its presence in countless scientific applications. The majority of people use at least one device daily whose operation is based on methods and tools of fuzzy logic. This Doctoral Thesis consists of a mathematical study, which has been carried out especially in fuzzy implications and new production methods of them, using fuzzy connectives. The structure of this Doctoral Thesis in terms of its content and chapters is as follows. Chapter 1 contains preliminary concepts that the reader needs to know in order to be able to read the study. These concepts (definitions, propositions, remarks, etc.) have either been referred from well-known international books or from published scientific articles in this scientific field. For each one of them there is at least one source reference, where it can be found. In addition, Proposition 1.5.11 and Remark 1.5.12 were added to this chapter with their proofs in order for the preliminary concepts to be complete. Chapter 2 presents a method for generating new classes of fuzzy implications by applying De Morgan’s laws and, when necessary, the classical law of double negation in known formulas of classes of fuzzy implications. Four applications of the above method are presented in this chapter. Three of these result in the generation of three new classes of fuzzy implications, the D′-, QL′- and R′- implications, respectively. Each class requires a separate study as demonstrated in this chapter. It is also proved that each class forms a new class of fuzzy implications. The main study of each new class is also carried out. Some more results are presented for the intersections, or the relationships, of these new classes of fuzzy implications with classes already known. Chapter 3 contains two hyper classes of fuzzy implications, those of (N′, T, N)- and GD′- implications, respectively. These are extensively studied. The first one is known from literature, while its study is completed at the same time. The second one is a new class of fuzzy implications, which is also presented and studied. The central idea of this chapter is that we can use the same or different fuzzy negations in fuzzy implications’ formulas in case of more than one fuzzy negation in their formula. The results of this chapter are applied with appropriate modifications to the (T, N)- and D′- implications, respectively. In addition, a new connection between the QL- and D- implications is discovered in this chapter, which encourages the existence of such studies and demonstrates their necessity. Chapter 4 extensively examines the satisfaction, or not, of the law of importation with respect to a triangular norm T by an (N′, T, N)- implication. This is another law, derived from the generalization of a tautology of classical logic. Some results are known from literature. New results are presented in this chapter, which often focus on the existence or not, or even on the uniqueness or not, of a triangular norm T. In addition, the results are reduced to the corresponding subclass of (T, N)- implications. Chapter 5 presents a method for generating fuzzy implications from n known fuzzy implications and a suitable function f. The case where n = 2 and the function f is a triangular norm T or conorm S is especially studied. This chapter demonstrates and presents a manipulation of properties of fuzzy implications and their production with specific properties, or not, a priori. A kind of an order of the constructed fuzzy implications is also achieved via this method. A special case where new fuzzy implications are produced by a fuzzy implication and a triangular norm or conorm is also presented. Chapter 6 investigates and studies a special case of an open unsolved problem, related to the exchange principle (EP) through lattice operations between two fuzzy implications. The problem is investigated and studied only for (S, N)- implications. It is not fully solved, but several useful results are presented and proven. Chapter 7 presents applications where fuzzy connectives and fuzzy implications are necessary. The necessity for the study of this Doctoral Thesis is explained and the three axes of originality on which the whole study is based are described in general terms. Moreover, it is described in detail how we can construct fuzzy implications, which a priori have specific properties or not, as these have been studied in Chapter 5. In brief, it is described how this study can be applied to possible applications.Finally, the whole study of this Doctoral Thesis is based exclusively on generalizations from classical logic to fuzzy logic and on fuzzy implications’ formulas which contain fuzzy connectives.

Η Ασαφής Λογική έχει εδραιώσει την παρουσία της σε αναρίθμητες επιστημονικές εφαρμογές στις μέρες μας και σίγουρα η πλειοψηφία των ανθρώπων καθημερινά χρησιμοποιούν τουλάχιστον μία συσκευή που η λειτουργία της στηρίζεται σε μεθόδους και εργαλεία της ασαφούς λογικής. Στη Διδακτορική Διατριβή αυτή, λοιπόν, εκπονείται μία μελέτη, πρωτίστως μαθηματική, ιδιαιτέρως στις ασαφείς συνεπαγωγές και προτείνονται νέες μέθοδοι παραγωγής τους, με τη χρήση ασαφών συνδέσμων. Η διάρθρωση της Διδακτορικής Διατριβής ως προς το περιεχόμενο και τα κεφάλαιά της είναι η ακόλουθη. Στο Κεφάλαιο 1 περιέχονται οι πρωταρχικές και προαπαιτούμενες έννοιες, που χρειάζεται να γνωρίζει ο αναγνώστης, ώστε να διαβάσει τη συνέχεια της μελέτης. Οι έννοιες αυτές (ορισμοί, προτάσεις, παρατηρήσεις κ.α.) είτε έχουν αντληθεί από γνωστά διεθνή βιβλία, είτε από δημοσιευμένα επιστημονικά άρθρα στο γνωστικό αυτό αντικείμενο. Για κάθε μία από αυτές υπάρχει η αναφορά, από όπου αντλήθηκε, ή τουλάχιστον μία αναφορά όπου μπορεί να βρεθεί. Επιπλέον, η Πρόταση 1.5.11 και η Παρατήρηση 1.5.12 προστέθηκαν στο κεφάλαιο αυτό με τις αποδείξεις τους, ώστε να συμπληρώσουν όλες τις προαπαιτούμενες πρωταρχικές έννοιες. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται μία μέθοδος παραγωγής νέων κλάσεων ασαφών συνεπαγωγών με την εφαρμογή των νόμων De Morgan και αν είναι απαραίτητο, του κλασικού νόμου της διπλής άρνησης, σε γνωστούς τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών. Γίνονται τέσσερις εφαρμογές της παραπάνω μεθόδου. Οι τρεις από αυτές οδηγούν στη γένεση τριών νέων κλάσεων ασαφών συνεπαγωγών, των D′-, QL′- και R′- συνεπαγωγών, αντίστοιχα. Κάθε κλάση χρήζει ξεχωριστής μελέτης, όπως αποδεικνύεται στο κεφάλαιο αυτό. Επίσης, αποδεικνύεται ότι κάθε κλάση είναι μία νέα κλάση ασαφών συνεπαγωγών και γίνεται η βασική της μελέτη. Για τις νέες κλάσεις αυτές παρουσιάζονται επίσης οι τομές ή οι σχέσεις τους με υφιστάμενες κλάσεις ασαφών συνεπαγωγών. Στο Κεφάλαιο 3 μελετώνται εκτενώς δύο υπερκλάσεις ασαφών συνεπαγωγών, αυτές των (N′, T, N)- και GD′- συνεπαγωγών, αντίστοιχα. Η πρώτη είναι γνωστή και συμπληρώνεται η μελέτη της, ενώ η δεύτερη είναι μία νέα κλάση ασαφών συνεπαγωγών, η οποία παρουσιάζεται και μελετάται. Η κεντρική ιδέα του κεφαλαίου αυτού είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και διαφορετικές ασαφείς αρνήσεις, αν θέλουμε, σε τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών που χρησιμοποιούν την ασαφή άρνηση περισσότερες από μία φορά. Τα αποτελέσματα του κεφαλαίου αυτού ισχύουν με κατάλληλες τροποποιήσεις και για τις (T, N)- και D′- συνεπαγωγές αντίστοιχα. Επιπλέον, στο κεφάλαιο αυτό ανακαλύπτεται μία νέα σύνδεση μεταξύ των QL- και D- συνεπαγωγών, γεγονός που ενθαρρύνει την ύπαρξη τέτοιου είδους μελετών και αποδεικνύει την αναγκαιότητά τους. Στο Κεφάλαιο 4 μελετάται εκτενώς η ικανοποίηση ή όχι του νόμου της εισαγωγής ως προς μία τριγωνική νόρμα T, από μία (N′, T, N)- συνεπαγωγή. Πρόκειται για ακόμα ένα νόμο που προέρχεται από γενίκευση ταυτολογίας της κλασικής λογικής. Κάποια αποτελέσματα είναι γνωστά από τη βιβλιογραφία. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται νέα αποτελέσματα, που πολλές φορές επικεντρώνονται στην ύπαρξη ή όχι, ή και στην μοναδικότητα ή όχι μιας τριγωνικής νόρμας T. Επιπλέον, τα αποτελέσματα ανάγονται στα αντίστοιχα για την υποκλάση των (T, N)- συνεπαγωγών. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται μία μέθοδος παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών από n γνωστές ασαφείς συνεπαγωγές και μία κατάλληλη συνάρτηση f. Μελετάται ιδιαίτερα η περίπτωση όπου n = 2 και η συνάρτηση f είναι μία τριγωνική νόρμα T ή συννόρμα S. Στο κεφάλαιο αυτό αποδεικνύεται και παρουσιάζεται μία χειραγώγηση ιδιοτήτων ασαφών συνεπαγωγών και μία παραγωγή τους με συγκεκριμένες ιδιότητες ή όχι, εκ των προτέρων. Ακόμη, πετυχαίνεται ένα είδος διάταξης τους με τη μέθοδο αυτή. Επίσης, παρουσιάζεται μία ειδική περίπτωση όπου από μία ασαφή συνεπαγωγή και μία τριγωνική νόρμα ή συννόρμα παράγουμε νέες ασαφείς συνεπαγωγές. Στο Κεφάλαιο 6 διερευνάται και μελετάται μία ειδική περίπτωση ενός ανοιχτού άλυτου προβλήματος, που σχετίζεται με την αρχή της ανταλλαγής (EP) μέσω των πράξεων πλέγματος ανάμεσα σε δύο ασαφείς συνεπαγωγές. Το πρόβλημα διερευνάται και μελετάται μόνο για (S, N)- συνεπαγωγές. Δεν λύνεται πλήρως, αλλά αρκετά χρήσιμα αποτελέσματα παρουσιάζονται και αποδεικνύονται. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται εφαρμογές, όπου οι ασαφείς σύνδεσμοι και οι ασαφείς συνεπαγωγές αποτελούν δομικά συστατικά. Εξηγείται η αναγκαιότητα της μελέτης της Διδακτορικής Διατριβής και περιγράφονται σε γενικές γραμμές οι τρεις άξονες πρωτοτυπίας πάνω στους οποίους στηρίζεται ολόκληρη η μελέτη. Επιπλέον, περιγράφεται εκτενώς το πως μπορούμε να κατασκευάσουμε ασαφείς συνεπαγωγές, που εκ των προτέρων έχουν ή όχι συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως αυτές μελετήθηκαν στο Κεφάλαιο 5. Με λίγα λόγια περιγράφεται πως μπορεί να εφαρμοστεί η μελέτη αυτή σε πιθανές εφαρμογές. Τέλος, όλη η μελέτη της Διδακτορικής Διατριβής στηρίζεται αποκλειστικά σε γενικεύσεις από την κλασική λογική στην ασαφή λογική και σε τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών με τη χρήση ασαφών συνδέσμων.