Μαθηματική μοντελοποίηση με χρήση της ασαφούς λογικής με εφαρμογές σε θέματα μηχανικών

Abstract

Fuzzy logic is the generalization of the classical two-valued logic and as an effect the classical set theory. The ability of fuzzy logic to describe sets and systems, in which ambiguity is present, makes fuzzy logic a fundamental part of computational intelligence. In particular, fuzzy logic and fuzzy set theory techniques, such as fuzzy systems, are implemented in the fields of artificial intelligence, approximate reasoning and inference systems. Fuzzy systems are employed in fuzzy logic engineering applications and they are based on fuzzy set construction, the use of fuzzy operators and the implementation of fuzzy inference rules. These fuzzy rules are described by functions, which are relations between fuzzy sets that stem from fuzzy propositional theory. More specifically, such functions, which are essential for the inference making process involved in fuzzy systems mechanisms, are usually fuzzy implications. In data applications in which fuzzy implications are involved, the selection of the most suitable fuzzy implication or a set of suitable fuzzy implications is of major importance, since the induction of the system in which are included is affected by this selection. The problem of choosing suitable fuzzy implications for data applications does not have a general solution. Moreover, the theoretical suitability is not derived from the dataset of an application but from the criteria that ensue from the theoretic rules of inference. These problems became the motive to produce the method this research refers to. The scope of this dissertation is the development of a method for the detection of the most suitable fuzzy implication given an initial set of fuzzy implications that are to be engaged in fuzzy systems. The result of the method is the fuzzy implication which is the most suitable for implementing the fuzzy inference rules of a fuzzy system regarding the dataset of an application. In parallel, a new approach of evaluating the fuzzy implication suitability is proposed with which the detection of the most suitable one is achieved concerning the data of the application. Additionally, the fuzzy conditional propositions involving the fuzzy implication, which is the output of this method, are the ones with the highest truth values for the measurements of the application. As a result, the method detects the fuzzy implication which best reflects the notion of induction of the dataset of the application, in comparison to the rest of the fuzzy implications under consideration.

Η ασαφής λογική αποτελεί γενίκευση της κλασικής δίτιμης λογικής και κατ’ επέκταση της μαθηματικής (κλασικής) θεωρίας συνόλων. Η ικανότητα της περιγραφής συνόλων και συστημάτων στα οποία ενυπάρχει ασάφεια, καθιστά την ασαφή λογική βασικό πυλώνα της υπολογιστικής νοημοσύνης. Ειδικότερα, τεχνικές της ασαφούς λογικής και της θεωρίας ασαφών συνόλων όπως είναι τα ασαφή συστήματα, βρίσκουν πλήθος εφαρμογών στην τεχνητή νοημοσύνη, και στα πεδία της προσεγγιστικής συλλογιστικής και των συστημάτων συμπερασμού. Τα ασαφή συστήματα χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές της ασαφούς λογικής στην επιστήμη του μηχανικού και βασίζονται στην κατασκευή ασαφών συνόλων, στην χρήση ασαφών τελεστών και την εφαρμογή ασαφών κανόνων συμπερασμού. Τα συστήματα αυτών των ασαφών κανόνων περιγράφονται από συναρτήσεις, οι οποίες αποτελούν σχέσεις της ασαφούς προτασιακής λογικής μεταξύ ασαφών συνόλων. Πιο συγκεκριμένα, τέτοιου είδους σχέσεις, οι οποίες είναι απαραίτητες για να επιτυγχάνεται ο συμπερασμός από τα ασαφή συστήματα, είναι συνήθως οι ασαφείς συνεπαγωγές. Στις εφαρμογές με δεδομένα στις οποίες οι ασαφείς συνεπαγωγές χρησιμοποιούνται, η επιλογή της πιο κατάλληλης ή ενός συνόλου κατάλληλων ασαφών συνεπαγωγών είναι μείζονος σημασίας καθώς καθορίζουν τον συμπερασμό που προκύπτει από τα ασαφή συστήματα στα οποία αναφέρονται. Το πρόβλημα της επιλογής κατάλληλων ασαφών συνεπαγωγών σε εφαρμογές δεν έχει στην γενική περίπτωση λύση. Επιπλέον, η θεωρητική καταλληλότητα δεν προκύπτει από τα δεδομένα των εφαρμογών αλλά από κριτήρια τα οποία προκύπτουν από τους θεωρητικούς κανόνες συμπερασμού. Τα προβλήματα αυτά αποτέλεσαν τα κίνητρα για την ανάπτυξη της μεθόδου στην οποία αναφέρεται η παρούσα έρευνα. Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μιας μεθόδου για την εύρεση της πιο κατάλληλης ασαφούς συνεπαγωγής από ένα αρχικό σύνολο ασαφών συνεπαγωγών οι οποίες είναι υποψήφιες για χρήση σε ασαφή συστήματα. Το αποτέλεσμα της μεθόδου είναι η ασαφής συνεπαγωγή που είναι η καταλληλότερη για την υλοποίηση των κανόνων συμπερασμού ενός ασαφούς συστήματος από τα δεδομένα μιας εφαρμογής. Παράλληλα, εισάγεται μια νέα προσέγγιση της αποτίμησης της καταλληλότητας ασαφών συνεπαγωγών βάσει της οποίας η διάκριση των ασαφών συνεπαγωγών προκύπτει από τα δεδομένα της εκάστοτε εφαρμογής. Επιπλέον, οι ασαφείς υποθετικές προτάσεις που αντιστοιχούν στην συνεπαγωγή η οποία προκύπτει ως το αποτέλεσμα της εφαρμογής της μεθόδου είναι εκείνες που επιτυγχάνουν τον μεγαλύτερο βαθμό αληθείας για τα δεδομένα της εφαρμογής. Κατ’ επέκταση, η μέθοδος διακρίνει την συνεπαγωγή για την οποία επιτυγχάνεται ο καλύτερος συμπερασμός από το σύνολο των δεδομένων της εφαρμογής, σε σύγκριση με τις υπόλοιπες ασαφείς συνεπαγωγές που εξετάζονται για τον ίδιο σκοπό.