Ολοκληρώσιμες δομές στη θεωρία των χορδών

Abstract

We study classical string solutions on RxS2 that correspond to elliptic solutions of the sine-Gordon equation. In this work, these solutions are systematically derived by inverting the Pohlmeyer reduction. A mapping of the physical properties of the string solutions to those of their Pohlmeyer counterparts is established. An interesting element of this mapping is the association of the number of spikes of the string to the topological charge in the sine-Gordon theory. Finally, the adopted parametrization of the solutions facilitates the identification of a dense subset of the moduli space of solutions, where the dispersion relation can be expressed in a closed form, arbitrarily far from the infinite size limit. We obtain classical string solutions on RxS2 by applying the dressing method on string solutions with elliptic Pohlmeyer counterparts. This is realized through the use of the simplest possible dressing factor, which possesses just a pair of poles lying on the unit circle. The latter is equivalent to the action of a single Backlund transformation on the corresponding sine-Gordon solutions. The obtained dressed elliptic strings present an interesting bifurcation of their qualitative characteristics at a specific value of a modulus of the seed solutions. Finally, an interesting generic feature of the dressed strings, which originates from the form of the simplest dressing factor and not from the specific seed solution, is the fact that they can be considered as drawn by an epicycle of constant radius whose center is running on the seed solution. The radius of the epicycle is directly related to the location of the poles of the dressing factor. Using the Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) approximation we study the formation and propagation of quantum bound states in the vicinity of a Galileon black hole. We show that for various ranges of the derivative coupling to the Einstein tensor, which appears in the metric of the Galileon black hole, a Regge-Wheeler potential containing a local well is formed. Varying the strength of the derivative coupling we investigate the behaviour of the bound states trapped in the potential well or penetrating the horizon of the Galileon black hole.

Μελετούμε κλασσικές λύσεις της μποζονικής θεωρίας χορδών στο χώρο RxS2, οι οποίες αντιστοιχούν σε ελλειπτικές λύσεις της εξίσωσης sine-Gordon. Η εύρεση αυτών των λύσεων γίνεται με συστηματικό τρόπο, μέσω της αντιστροφής της αναγωγής Pohlmeyer, ενώ οι λύσεις κατηγοριοποιούνται με βάση τα ανάλογά τους στην ανηγμένη κατά Pohlmeyer θεωρία. Στις λύσεις αυτές συμπεριλαμβάνονται τα spiky strings, καθώς και άλλες γνωστές λύσεις, όπως το σωματίδιο BMN, η χορδή GKP και τα giant magnons, οι οποίες αποτελούν ειδικά όρια της γενικής λύσης και αποκαλύπτουν πολλά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της αντιστοιχίας AdS/CFT. Οι φυσικές ιδιότητες των λύσεων της θεωρίας χορδών αντιστοιχίζονται με αυτές των αναλόγων τους στην ανηγμένη κατά Pohlmeyer θεωρία. Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα τέτοιας αντιστοιχίας αποτελεί ο αριθμός των ακίδων (spikes) της χορδής, ο οποίος αντιστοιχεί στο τοπολογικό φορτίο της αντίστοιχης λύσης στην sine-Gordon θεωρία. Επιπλέον, στο πλαίσιο του δυϊσμού sine-Gordon/Thirring, το τοπολογικό φορτίο αντιστοιχεί στον φερμιονικό αριθμό του μοντέλου Thirring, το οποίο οδηγεί σε μία κατηγοριοποίηση των λύσεων σε φερμιονικά αντικείμενα και μποζονικά συμπυκνώματα. Επίσης, η παραμετροποίηση των λύσεων, η οποία επιβάλλεται κατά κάποιον τρόπο από την αντιστροφή της αναγωγής Pohlmeyer, διευκολύνει τη μελέτη της σχέσης διασποράς της χορδής. Πιο συγκεκριμένα, βρίσκουμε ένα άπειρο σύνολο τροχιών στον παραμετρικό χώρο των λύσεων, για τις οποίες η σχέση διασποράς μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή, όχι μόνο στο όριο απείρου μεγέθους, αλλά και οσοδήποτε μακριά από αυτό. Στη συνέχεια βρίσκουμε νέες κλασσικές λύσεις της θεωρίας χορδών στο χώρο RxS2 μέσω εφαρμογής της μεθόδου ένδυσης σε λύσεις της θεωρίας χορδών με ελλειπτικές λύσεις ως ανάλογα κατά Pohlmeyer. Αυτό υλοποιείται μέσω της χρήσης του απλούστερου δυνατού παράγοντα ένδυσης, ο οποίος έχει μόνο δύο πόλους, που βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο. Η διαδικασία αυτή είναι ισοδύναμη με τη δράση ενός μετασχηματισμού Backlund στις αντίστοιχες λύσεις της εξίσωσης sine-Gordon. Οι νέες αυτές λύσεις μπορούν να σχεδιαστούν από έναν επίκυκλο σταθερής ακτίνας, του οποίου το κέντρο διατρέχει την αρχική λύση, χαρακτηριστικό που είναι γενικό και σχετίζεται με τη μορφή του απλούστερου παράγοντα ένδυσης. Μελετούμε το ζήτημα ύπαρξης κβαντικών δέσμιων καταστάσεων έξω από τον ορίζοντα μίας Galileon μελανής οπής κάνοντας χρήση της προσέγγισης WKB. Αποδεικνύεται ότι για κάποιο εύρος τιμών της σταθεράς σύζευξης μεταξύ του βαθμωτού πεδίου και του τανυστή Einstein, η οποία εμφανίζεται στη μετρική της Galileon μελανής οπής, σχηματίζεται ένα δυναμικό Regge-Wheeler, που περιέχει ένα τοπικό πηγάδι δυναμικού. Μεταβάλλοντας την ισχύ της εν λόγω σύζευξης μελετήθηκε η συμπεριφορά των δέσμιων καταστάσεων, οι οποίες είτε ήταν παγιδευμένες στο πηγάδι δυναμικού, είτε διαπερνούσαν τον ορίζοντα της Galileon μελανής οπής.