Finite elements incorporating plasticity, large strains and damage

Abstract

In this dissertation, a set of smooth, rate independent 3D Bouc-Wen hysteretic models are derived, based on concepts of the mathematical theory of Plasticity, Continuum Damage Mechanics theory and the Hyperelastic-based Multiplicative Plasticity theory in a consistent way. These models are incorporated in standard Finite Element Method, mainly in plate and shell structures, and are extended in IsoGeometric Analysis (IGA) for plane stress problems and shape optimization, to demonstrate the broad range of applicability of the proposed method. The entire approach is generic and starts from the consistency condition to derive a unified expression in rate form for the evaluation of the plastic multiplier. This rate form is quite general in the sense that it accounts for every combination of yield criteria and hardening laws. Subsequently, the Bouc-Wen type equations governing the evolution of plastic strains (small/finite), damage, linear or nonlinear kinematic and isotropic hardening are established. The developed generalized smooth hysteretic models are implemented on the Finite Element Scheme, introducing directly the constitutive relations into the element and structure matrices, yielding a versatile and compact formulation for the nonlinear static and dynamic analysis of structures. More specifically, the elastic “mixed interpolation of tensorial components” plate element MITC4 with four nodes and shell element MITC9 with nine nodes are reformulated to incorporate Bouc-Wen hysteretic model and are extended by considering as additional hysteretic degrees of freedom the plastic strains, the back-stresses and the variable yield stress. These are considered at the Gauss points of two faces and all interlaminar interfaces, the evolution of which is described by the Bouc-Wen type equations. Using this formulation, the effect of the type of hardening (kinematic, isotropic or mixed) on the response of a plate and the effect of the nonlinear kinematic hardening on the response of a shell structure and in particular the phenomenon of ratcheting are investigated. Τhe developed hysteretic shell element accounts for geometric nonlinear analysis and can incorporate two-constituent functionally graded materials. Additionally, the main features of damage are revealed as well as the differences with the undamaged predictions and axisymmetric solutions in problems with finite strains demonstrate the efficacy, accuracy and generality of the proposed approach. Moreover, a new hysteretic formulation for the inelastic static and dynamic analysis of plane stress problems within the framework of Isogeometric Analysis (IGA) is presented. Finally, computational solution approaches are proposed for the nonlinear static and dynamic analysis of structures modeled by hysteretic finite elements, by appropriately modifying the standard solution schemes. The entire scheme offers a compact physical insight for material nonlinearities at the element level and geometric nonlinear problems within Finite Element discretization leading to computationally efficient algorithms, which can incorporate the inherent parallelism of element behavior.

Στη διατριβή, εξάγονται οι εκφράσεις γενικευμένων, ομαλών, μη εξαρτώμενων από τον ρυθμό επιβολής της έντασης, τριδιάστατων υστερητικών προσομοιωμάτων τύπου Bouc-Wen με βάση την κλασική θεωρία της πλαστικότητας, τη μηχανική των βλαβών και τη θεωρία της πολλαπλασιαστικής πλαστικότητας πεπερασμένων τροπών που βασίζεται στην υπερελαστικότητα. Αυτά τα προσομοιώματα ενσωματώνονται στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, κυρίως σε στοιχεία πλάκας και κελύφους και στην ισογεωμετρική ανάλυση προβλημάτων επίπεδης έντασης και βελτιστοποίησης σχήματος. Έτσι, αναδεικνύεται το εύρος των εφαρμογών της προτεινόμενης μεθόδου. Ξεκινώντας από τη συνθήκη της συνέπειας, προκύπτει μια διαφορική έκφραση η οποία υπολογίζει την τιμή του πλαστικού πολλαπλασιαστή και ισχύει μόνο κατά τη διάρκεια της διαρροής. Στην παρούσα διατριβή, κάνοντας χρήση συναρτήσεων Heaviside, οι οποίες ελέγχουν την έναρξη της διαρροής, τη φόρτιση/αποφόρτιση και την έναρξη της βλάβης διατυπώνεται μια σχέση με καθολική εφαρμογή σε όλο το χώρο των τάσεων, η οποία είναι γενική καθώς δέχεται κάθε συνδυασμό κριτηρίου διαρροής και νόμου κράτυνσης. Βάσει αυτής, διατυπώνονται εξισώσεις που διέπουν την εξέλιξη των πλαστικών τροπών, της κινηματικής και ισoτροπικής κράτυνσης, της μεταβλητής της βλάβης ή της βαθμίδας παραμόρφωσης. Τα αναπτυχθέντα γενικευμένα υστερητικά προσομοιώματα ενσωματώνονται στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, εισάγοντας με άμεσο τρόπο τις καταστατικές σχέσεις στα μητρώα των στοιχείων και των κατασκευών, παρέχοντας μια ευέλικτη και συμπαγή διατύπωση για την ανελαστική στατική και δυναμική ανάλυση των κατασκευών. Ειδικότερα, για επιφανειακούς φορείς, το πεπερασμένο στοιχείο πλάκας MITC4 και το πεπερασμένο στοιχείο κελύφους MITC9 αναδιαμορφώνονται για να ενσωματώσουν το ομαλό υστερητικό προσομοίωμα και επεκτείνονται θεωρώντας ως επιπρόσθετους υστερητικούς βαθμούς ελευθερίας τις πλαστικές τροπές, τις εσωτερικές τάσεις και τη μεταβλητή τάση διαρροής. Οι παραπάνω υστερητικοί βαθμοί ελευθερίας ορίζονται στα σημεία ολοκλήρωσης των δύο εξωτερικών επιφανειών των πλακών και κελυφών και στις διεπιφάνειες μεταξύ των στρώσεων (στις οποίες υποδιαιρείται το πάχος των στοιχείων). Η εξέλιξη των υστερητικών βαθμών διέπεται από εξισώσεις τύπου Bouc-Wen. Χρησιμοποιώντας την διατύπωση αυτή, διερευνάται η επίδραση του τύπου της κράτυνσης (κινηματική, ισοτροπική, μικτή) στην απόκριση πλακών και η επίδραση της μη γραμμικής κινηματικής κράτυνσης και του φαινομένου του ανακυκλικού ερπυσμού στην απόκριση των κελυφών. Το αναπτυχθέν υστερητικό πεπερασμένο στοιχείο κελύφους λαμβάνει υπόψη τις επιδράσεις μεγάλων μετακινήσεων και έχει την δυνατότητα ενσωμάτωσης υλικών διαβαθμισμένων ιδιοτήτων. Επιπλέον, αναδεικνύονται τα βασικά χαρακτηριστικά της μηχανικής των βλαβών όπως επίσης και οι διαφορές με τις προβλέψεις χωρίς θεώρηση βλαβών και παρουσιάζονται αξονοσυμμετρικές επιλύσεις προβλημάτων στα οποία εμφανίζονται μεγάλες ελαστοπλαστικές τροπές. Επιπρόσθετα, προτείνεται νέα υστερητική διατύπωση για την ανελαστική ανάλυση προβλημάτων επίπεδης έντασης στα πλαίσια της ισογεωμετρικής ανάλυσης. Τέλος, διατυπώνονται τεχνικές αριθμητικής επίλυσης των προβλημάτων μη γραμμικής στατικής και δυναμικής ανάλυσης, τα οποία χρησιμοποιούν υστερητικά πεπερασμένα στοιχεία, τροποποιώντας κατάλληλα τις υπάρχουσες μεθόδους επίλυσης. Η προτεινόμενη μέθοδος λαμβάνει άμεσα υπόψη την ανελαστικότητα με φυσικό τρόπο και αποδεικνύεται αποδοτική υπολογιστικά και περισσότερο σταθερή και ακριβής συγκρινόμενη με τις επικρατούσες μεθόδους.