Meshless methods for solving large-scale problems

Abstract

The present work deals with meshless methods and especially the Element Free Galerkin Method (EFGM) which is more often used by the computational mechanics community. EFGM requires only nodal data and no element connectivity is needed to construct the shape functions. However a global background cell structure is necessary for the numerical integration.Meshless methods have a number of virtues due to the absence of mesh related problems. Effortless modeling of the problem geometry is accompanied by the natural development of adaptive schemes where nodes may be added anywhere in the domain irrespectively of the initial arrangement. Furthermore, increased smoothness of the solution and its derivatives is accomplished since the shape function field has higher order properties. Especially in stress analysis results are more accurate and improved stress fields are achieved when nodes are added to stress concentration areas only. Crack propagation analysis is also improved, since the node arrangement is able to move together with the face of the crack. The aforementioned benefits come with great computational cost in comparison to other - well established- methods such as the Finite Element Method (FEM). The aim of this work is to improve the overall computational efficiency of meshless methods and gain a deeper understanding of their inherent properties. The main focus is on EFGM but the majority of the contributions may be applied on other similar methods also.The first attempt to reduce the computational cost is by employing domain decomposition techniques on the physical as well as on the algebraic domains. A novel balancing technique is proposed, by which the overlapping stiffness coefficients of each subdomain are replaced by the mean value of the subdomain contribution in the boundary dof. The proposed technique vastly decreases the number of solution iterations. Also a novel non-overlapping decomposition is proposed. The subdomain matrices are no longer ill conditioned, resulting in much faster convergence of the iterative procedure. The assembly of the stiffness matrix of EFGM is accountable for a significant percentage of the total computing time. In order to resolve this issue, a novel Node-Gauss point correlation is proposed. The search for interaction between Gauss points and nodes is performed only on specific regions, reducing time. Furthermore, a novel Node pair-wise formulation of stiffness matrix is proposed. The proposed, alternative way, to perform the aforementioned computation is the creation of global stiffness coefficients directly at the interacting nodes. Another issue of concern in EFGM is the calculation of the shape functions and shape functions derivatives that are used to construct the stiffness matrix. A novel formulation of the shape functions by parts (initial and added) is proposed. The contribution of added nodes is thoroughly investigated and separated from the initial part of the shape function field by using the binomial inverse theorem. A hierarchical refinement of the stiffness matrix is proposed. Then, a second, purely hierarchical, refinement of the stiffness matrix is proposed. In that way the computational effort for the assembly of the stiffness matrix is reduced, where specially tailored solution procedures can be applied that avoid refactorization of the initial stiffness matrix.

Η παρούσα Διδακτορική Διατριβή έχει ως αντικείμενο τη συμβολή στην ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων που διακριτοποιούν τον υπολογιστικό χώρο μόνο σε κόμβους χωρίς την ύπαρξη πλέγματος στοιχείων, με ή χωρίς την ύπαρξη οπίσθιου δικτύου ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων. Οι μέθοδοι αυτές πλεονεκτούν κατά τη βιβλιογραφία έναντι των συμβατικών, εδραιωμένων μεθόδων (όπως η κλασσική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων) στην ακρίβεια των παραγόμενων αποτελεσμάτων, σε προβλήματα μεγάλων παραμορφώσεων – μετατοπίσεων αλλά και σε ορισμένα προβλήματα δημιουργίας και διάδοσης ασυνεχειών. Τα κύρια χαρακτηριστικά των μη πλεγματικών (meshless ή meshfree) μεθόδων, εκτός από τη διακριτοποίηση με κόμβους, είναι το τοπικό χωρίο επιρροής κάθε κόμβου (ή βαθμού ελευθερίας) το οποίο ενδεχομένως να μεταβάλλεται και τα σημεία ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων που μπορεί να ανήκουν σε ένα δίκτυο (όπως στην τυπική ολοκλήρωση με σημεία Gauss) ή να είναι αυτόνομα (σημειακή ολοκλήρωση). Λόγω της διασποράς των κόμβων στο χώρο, οι συναρτήσεις σχήματος που χρησιμοποιούνται είναι πιο περίπλοκες και άρα δυσκολότερα ολοκληρώσιμες από τις κλασσικές συναρτήσεις σχήματος της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Λόγω της ιδιομορφίας των συναρτήσεων σχήματος είναι δυσκολότερη και η επιβολή συνοριακών συνθηκών αλλά και σημειακών φορτίσεων.Από τα αρχικά στάδια της έρευνας έγινε ορατό το ιδιαίτερα αυξημένο υπολογιστικό κόστος της μεθόδου. Προς την κατεύθυνση της μείωσης αυτού του κόστους πραγματοποιήθηκε πρωτότυπη εργασία στο χωρισμό του φορέα σε υποφορείς βάσει του φυσικού προβλήματος δημιουργώντας επικαλυπτόμενους υποφορείς. Το ενδοσυνοριακό πρόβλημα επιλύθηκε με άμεση αλλά και επαναληπτική διαδικασία. Παράλληλα προτάθηκε μία διαδικασία εξισορρόπησης των μητρώων στιβαρότητας των υποφορέων που προκύπτουν και τέλος μία μη-επικαλυπτόμενη προσέγγιση στο διαχωρισμό των υποφορέων.Για τη μείωση του κόστους μόρφωσης του μητρώου στιβαρότητας αναπτύχθηκε μία διαφορετική διαδικασία συσχέτισης των βαθμών ελευθερίας με τα σημεία ολοκλήρωσης. Η αναζήτηση των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των βαθμών ελευθερίας και των σημείων ολοκλήρωσης πραγματοποιείται σε συγκεκριμένες περιοχές και όχι σε όλο το φορέα μειώνοντας σημαντικά το χρόνο αναζήτησης. Παράλληλα αναπτύχθηκε μία καινοτόμος διαδικασία μόρφωσης του μητρώου στιβαρότητας, έχοντας ως σημείο αναφοράς τον κάθε βαθμό ελευθερίας και όχι το σημείο ολοκλήρωσης. Κατά αυτόν τον τρόπο γίνεται «απευθείας» η δημιουργία των στοιχείων του μητρώου στιβαρότητας στους βαθμούς ελευθερίας (κόμβους του φορέα). Για την προτεινόμενη υλοποίηση χρησιμοποιείται μία διαδικασία δύο σταδίων η οποία είναι άμεσα παραλληλοποιήσιμη. Κατά αυτόν τον τρόπο το κάθε στοιχείο του μητρώου στιβαρότητας εγγράφεται μία φορά και δεν ανανεώνεται διαρκώς όπως στη συμβατική διατύπωση, βελτιώνοντας σημαντικά το υπολογιστικό κόστος.Παράλληλα δημιουργήθηκε μία νέα διατύπωση του πεδίου των συναρτήσεων σχήματος κατά τμήματα. Στην περίπτωση που γίνεται προσθήκη κόμβων (βαθμών ελευθερίας) οι αρχικές συναρτήσεις σχήματος και οι παράγωγοί τους διατηρούνται και η συνεισφορά των νέων κόμβων υπολογίζεται ξεχωριστά μέσω μιας πρωτότυπης διαδικασίας. Η εξέλιξη της παραπάνω διατύπωσης όσον αφορά τα στοιχεία του μητρώου στιβαρότητας επιτρέπει μία ιεραρχική δόμηση του ολικού μητρώου στιβαρότητας, καθώς στο υπάρχον (προ-υπολογισμένο) αρχικό μητρώο στιβαρότητας προστίθενται οι πρόσθετες συνεισφορές και δε χρειάζεται να γίνει επανυπολογισμός του μητρώου από την αρχή, όπως γίνεται στη συνήθη διαδικασία. Δημιουργήθηκε επίσης μία δεύτερη πρωτότυπη διατύπωση του πεδίου των συναρτήσεων σχήματος, η οποία οδηγεί σε μία καθαρά ιεραρχική δόμηση του μητρώου στιβαρότητας, με την έννοια της απεμπλοκής του αρχικού από το προστιθέμενο τμήμα. Κατά αυτόν τον τρόπο το αρχικό (προ-υπολογισμένο) μητρώο στιβαρότητας δέχεται συνεισφορές μόνο στους πρόσθετους βαθμούς ελευθερίας.