Detailed stochastic finite element simulation in geotechnics

Abstract

We know more about the movement of celestial bodies than we know about the soil underfoot” claimed once Leonardo da Vinci; a clever quotation that certainly gives us food for thought. Soils in their natural state are by far among the most variable materials. Unfortunately, lack of available data on their properties has led engineers to seek new ways of dealing with this uncertainty. Let us consider, for example, the adoption of safety factors; the astounding computing power of today’s parallel computers has opened completely new paths for engineers, especially on how to incorporate uncertain soil parameters directly in their numerical analyses. Up to now, some of the most widely used methods lay under the umbrella of stochastic finite element methods (SFEM), consisting of the alternative extension of the classical deterministic finite element method(FEM). This thesis, in particular, deals with the application of SFEM for the simulation of geotechnical problems with uncertain soil parameters, while the spatial variability of material properties such as elasticity or permeability is taken into account via the use of homogeneous random fields. In the first part, essential theoretical concepts are established; to this purpose, basic set and probability theory, together with random processes and fields, are analyzed. Furthermore, the basic variants of SFEM are discussed, followed by a brief introduction to variability response functions (VRF) as an alternative, trustworthy technique for quantifying response uncertainty. The second part consists of numerical case studies of the SFEM methodology with a special regard to problems of a clearly geotechnical nature. Specifically, the first applications consist of settlement of a footing resting on a consolidating soil layer with stochastic Young’s modulus and permeability. Next, the footing problem is revisited on the basis of dynamic variability response functions (DVRF), in order to prove the potential of this alternative methodology. It has to be noted though that, in the second application, the problem of shear wave propagation in a soil layer with spatially variable shear-modulus is studied; this is tackled with the DVRF methodology using the fast Monte Carlo simulation (FMCS), whereas again the accuracy of the FMCS is compared with the results obtained via the MCS. To conclude, throughout the present work, the potential of SFEM is fully demonstrated, something which will definitely prove to be of immense value for risk assessment and uncertainty quantification in the hands of modern engineers. After all, we must never forget what Horace Mann wrote in 1855: “Every addition to true knowledge is an addition to human power” (Lectures on Education, Lecture 1).

Γνωρίζουμε περισσότερα για την κίνηση των ουράνιων σωμάτων απ’ ότι για το έδαφος κάτω από τα πόδια μας...» ισχυριζόταν ο Λεονάρντο ντα Βίντσι. Εύστοχη παρατήρηση που σίγουρα μας δίνει τροφή για σκέψη˙τα εδάφη στη φυσική τους κατάσταση συγκαταλέγονται άλλωστε ανάμεσα στα πιο «αβέβαια» υλικά.Δυστυχώς, η έλλειψη διαθέσιμων δεδομένων σχετικά με τις ιδιότητές τους ώθησε τους μηχανικούς στην αναζήτηση τρόπων αντιμετώπισης της εν λόγω αβεβαιότητας. Ας αναλογιστούμε, για παράδειγμα, την εισαγωγή των συντελεστών ασφαλείας˙ η εκπληκτική υπολογιστική ισχύς των σύγχρονων παράλληλων υπολογιστών άνοιξε εντελώς νέους ορίζοντες, ειδικώς όσον αφορά την ενσωμάτωση της αβεβαιότητας των εδαφικών ιδιοτήτων στις αριθμητικές αναλύσεις. Μέχρι σήμερα, μερικές από τις πιο διαδεδομένες μεθόδους εντάσσονται στη λεγόμενη «οικογένεια» των Μεθόδων Στοχαστικών Πεπερασμένων Στοιχείων, οι οποίες νοούνται ως επέκταση της παραδοσιακής πια «ντετερμινιστικής» Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Η συγκεκριμένη Διατριβή ασχολείται ειδικά με την αξιοποίηση των Μεθόδων Στοχαστικών Πεπερασμένων Στοιχείων για την προσομοίωση γεωτεχνικών προβλημάτων με στοχαστικές εδαφικές ιδιότητες, ενόσω η χωρική διακύμανση των υλικών ιδιοτήτων, όπως το μέτρο ελαστικότητας ή η διαπερατότητα, λαμβάνεται υπόψη μέσω της χρήσης ομοιογενών τυχαίων πεδίων. Στο πρώτο μέρος, εκτίθενται οι στοιχειώδεις θεωρητικές βάσεις˙ για το σκοπό αυτό, η βασική θεωρία συνόλων και πιθανοτήτων, μαζί με εκείνη των τυχαίων διαδικασιών και πεδίων, αναλύονται. Επιπλέον, επεξηγούνται οι βασικές παραλλαγές των Μεθόδων Στοχαστικών Πεπερασμένων Στοιχείων, ακολουθούμενες από μία σύντομη εισαγωγή στις γνωστές και ως Συναρτήσεις Διακύμανσης Απόκρισης ως εναλλακτική αξιόπιστη τεχνική για την ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας «απόκρισης» του συστήματος θεμελίουεδάφους.Το δε δεύτερο μέρος συγκροτείται από μεμονωμένες αριθμητικές «μελέτες» της μεθοδολογίας Στοχαστικών Πεπερασμένων Στοιχείων με έμφαση σε προβλήματα γεωτεχνικής φύσης. Συγκεκριμένα, οι πρώτες εφαρμογές εξετάζουν την καθίζηση ενός θεμελίου επάνω σε στερεοποιημένα στρώματα εδαφών με τη χρήση στοχαστικών μονάδων μέτρησης Young και διαπερατότητας. Στη συνέχεια, το ζήτημα της στερεοποίησης επανεξετάζεται στη βάση των Δυναμικών Συναρτήσεων Διακύμανσης Απόκρισης, με σκοπό να αποδειχτεί το δυναμικό της εν λόγω εναλλακτικής μεθοδολογίας. Οφείλει βεβαίως να σημειωθεί πως, στη δεύτερη εφαρμογή, το πρόβλημα διάδοσης διατμητικού κύματος σε εδαφικό στρώμα με χωρικά μεταβλητό μέτροδιάτμησης αποτελεί το κύριο αντικείμενο έρευνας. Αυτό ακριβώς επιλύεται με τη μεθοδολογία τωνΔυναμικών Συναρτήσεων Διακύμανσης Απόκρισης χρησιμοποιώντας την ταχεία προσομοίωση του τύπου Monte Carlo, ενώ η όλη αξιοπιστία της μεθόδου ελέγχεται και πάλι μέσω παρεμφερών αποτελεσμάτων που έχουν προκύψει από παρόμοιες προσομοιώσεις τύπου Monte Carlo.Εν ολίγοις, καθ’ όλη τη διάρκεια της παρούσας εργασίας, καταβάλλεται προσπάθεια να αναδειχτεί τοπλήρες δυναμικό της Μεθόδου Στοχαστικών Πεπερασμένων Στοιχείων για τη διερεύνηση γεωτεχνικών προβλημάτων, κάτι που μέλλει να αποδειχτεί εργαλείο ανυπέρβλητης αξίας για την αξιολόγηση κινδύνων και ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας στα χέρια των σύγχρονων μηχανικών. Ας μη λησμονούμε το απόφθεγμα που ο Οράτιος Μανν, Αμερικανός ανθρωπιστής και κατεξοχήν μεταρρυθμιστής του αμερικανικού εκπαιδευτικού συστήματος, έγραφε το 1855 στις «Διαλέξεις περί Εκπαιδεύσεως» (διάλεξη Ι): «Κάθε προσθήκη στην αληθινή γνώση είναι προσθήκη στην ανθρώπινη δύναμη.