Ανάλυση φορέων με συμβατικά, προσαρμοστικά και στοχαστικά πεπερασμένα στοιχεία σε διαδικτυωμένους ηλεκτρονικούς υπολογιστές

Abstract

Parallel programming is widely accepted by engineers and scientists as the today’s and future’s tool to overcome the computational barriers imposed by CPU speed and memory limitations in sequential processing. A platform for parallel computing that is continuously gaining popularity over the last years is the cluster of networked computers. Such clusters can be used as a single distributed computational resource for high performance computing, which is characterized by its low installation, interconnection and maintenance cost and thus its increasing availability. The research conducted in this thesis has been directed towards the exploitation of such computing environments, since even small engineering enterprises can afford today their own networks of workstations and/or Pentium PCs executing distributed programs. The engineering approach towards parallelism for the Finite Element (FE) analysis of a structural model involves the partitioning of the FE mesh into submeshes called subdomains. This process, termed as domain decomposition, has served as the basis for the development of efficient matrix handling techniques and solution algorithms for the parallel FE analysis of large-scale problems encountered in computational structural mechanics. Domain decomposition methods allow the concurrent handling of the subdomains of the structure on different processors accelerating this way the overall FE analysis. The research work in this thesis focuses on a method called FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting), which is an iterative domain decomposition solution algorithm. According to the FETI method the domain is partitioned into a set of totally disconnected subdomains and the global problem is replaced by subdomain equations of equilibrium subject to the compatibility of the subdomain displacements across the subdomain interfaces. The resulting interface problem is in general indefinite due to the presence of floating subdomains, which do not have enough prescribed displacements to eliminate the local rigid body modes. The indefinite problem is handled by an iterative Preconditioned Conjugate Projected Gradient (PCPG) algorithm. The original contributions presented in this thesis involve both theoretical and practical aspects of the FETI method. A theoretical issue of the FETI method concerning the determination of the subdomains’ rigid body modes has been treated with a hybrid approach, which combines analytical and numerical computations. The development of new preconditioners for the iterative PCPG algorithm constitutes another innovation of theoretical nature. A practical contribution of the thesis is the developed FETI implementation, which has been programmed according to the master/slave model for distributed computing, in order to minimize the effect of the network’s low communication speed on the performance of the network-distributed FE application. Another practical issue addressed is the generation of subdomain clusters, which emerges due to the fact that the FETI method is used in practice with the number of generated subdomains being generally larger than the number of available processors. The task of handling the resulting matrices and solving the governing system of algebraic equations becomes even more demanding and challenging in parallel adaptive FE applications. The domain decomposition-based procedure adopted in this thesis to treat large-scale h-, p- and hp-version FE problems is implemented as an extension to a conventional parallel FE program, in which the powerful parallel FETI solver is employed to handle the FE system for each adaptive step. According to this approach, each adaptive step is treated as a stand-alone FE problem, avoiding this way the complexity of a dynamic load balancing strategy with the migration of elements from one processor to another. Another field of structural engineering involving computationally intensive applications is stochastic FE analysis. The Monte Carlo Simulation (MCS) technique, which is the most effective and widely applicable method for handling large-scale stochastic FE problems with complicated structural response, involves an expensive computational procedure requiring successive FE analyses. The techniques implemented in this thesis accelerate the solution of each simulation’s FE system by taking advantage of the fact that the simulations’ stiffness matrices have relatively small differences. This set of nearby FE problems is solved in parallel with the hybrid iterative domain decomposition technique PCG-FETI, which effectively combines the conventional Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) method and the FETI method. The presented numerical results demonstrate the efficiency of the parallel PCG-FETI method for solving nearby problems arising in MCS-based FE analysis of large-scale shell structures with stochastic material properties.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει ως αντικείμενο τη συμβολή στην εξέλιξη των σύγχρονων μεθόδων και υπολογιστικών τεχνικών για την ανάλυση φορέων με μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας. Χρησιμοποιείται η πιο διαδεδομένη σήμερα αριθμητική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων υπολογιστικής μηχανικής, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, η οποία προσφέρεται από τη φύση της για προγραμματισμό σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η επίλυση της μητρωικής εξίσωσης ισορροπίας ενός φορέα αποτελεί κατά κανόνα το πιο χρονοβόρο και απαιτητικό σε υπολογιστική μνήμη τμήμα της ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, με αποτέλεσμα να αποτελεί δεσμευτικό παράγοντα για το μηχανικό ως προς τον αριθμό των αναλύσεων που μπορεί να πραγματοποιήσει και την πυκνότητα της διακριτοποίησης σε πεπερασμένα στοιχεία που μπορεί να επιλέξει. Στη διατριβή αυτή επιχειρείται η ανάπτυξη και αποδοτική εφαρμογή αλγορίθμων για την ταχεία και ολιγαρκή σε υπολογιστική μνήμη επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας των πεπερασμένων στοιχείων. Οι διαρκώς αυξανόμενες ανάγκες για ακριβείς και πολύπλοκες αναλύσεις (υπάρχουν προβλήματα, για τα οποία απαιτείται η επίλυση γραμμικών συστημάτων με εκατοντάδες χιλιάδες ή και εκατομμύρια αγνώστους) συνεπάγονται μεγάλο υπολογιστικό φόρτο και κατά συνέπεια δημιουργούν την ανάγκη για ανάπτυξη προηγμένων αριθμητικών τεχνικών επίλυσης των μητρωικών εξισώσεων ισορροπίας και διαχείρισης των εμπλεκομένων μητρώων. Η υπολογιστική ισχύς και μνήμη που απαιτούνται για την επίλυση των μητρωικών εξισώσεων εξασφαλίζεται με τη χρήση παράλληλων υπολογιστών, δηλαδή με τη συνδυασμένη και ταυτόχρονη χρήση περισσότερων επεξεργαστών για την επίλυση ενός προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται διαδικτυωμένοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, οι οποίοι παρέχουν ένα παράλληλο υπολογιστικό περιβάλλον με μικρό κόστος εγκατάστασης, διαδικτύωσης και συντήρησης και επομένως με ολοένα και αυξανόμενη εξάπλωση ακόμα και σε μικρές επιχειρήσεις, τεχνικά γραφεία και μεμονωμένες ερευνητικές ομάδες. Έτσι, κύριο στόχο της παρούσας διατριβής αποτελεί η ανάπτυξη και εφαρμογή αλγορίθμων πεπερασμένων στοιχείων κατάλληλων για την ταχύτατη αριθμητική επίλυση των σχηματιζόμενων εξισώσεων και την αποτελεσματική διαχείριση των εμπλεκομένων μητρώων σε διαδικτυωμένους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Στη διατριβή αυτή χρησιμοποιούνται μέθοδοι διαχωρισμού του προς επίλυση προβλήματος σε πολλά τμήματα όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητα μεταξύ τους. Με τις μεθόδους αυτές προσπαθούμε να εκμεταλλευθούμε μία βασική ιδιότητα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, ότι δηλαδή κάθε φορέας μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο απλών στοιχείων ή και συνθετότερων τμημάτων του (των υπερστοιχείων ή υποφορέων), καθένα από τα οποία συνδέεται με τα γειτονικά του μέσω των κόμβων του μοντελοποιημένου φορέα. Τέτοιες μέθοδοι βρίσκουν ευρεία εφαρμογή στον παράλληλο προγραμματισμό, αφού μας επιτρέπουν να μετατρέπουμε ένα μεγάλο πρόβλημα σε πολλά μικρότερα και να αναθέτουμε την επίλυση καθενός από τα επιμέρους προβλήματα σε έναν επεξεργαστή. Έτσι επιτυγχάνουμε σημαντική οικονομία χρόνου και μνήμης, αφού ένας αριθμός επεξεργαστών εργάζεται ταυτόχρονα για την επίλυση των επιμέρους προβλημάτων, των οποίων η σύνθεση των λύσεων αποτελεί και τη λύση του αρχικού, ολικού προβλήματος. Οι αλγόριθμοι που αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής προορίζονται για την επίλυση διδιάστατων και τρισδιάστατων προβλημάτων τόσο συμβατικών όσο και προσαρμοστικών και πιθανοτικών/στοχαστικών πεπερασμένων στοιχείων. Με τη χρήση προσαρμοστικών πεπερασμένων στοιχείων είμαστε σε θέση να ελέγξουμε το σφάλμα διακριτοποίησης του εξεταζόμενου φορέα αυξάνοντας με έναν αυτόματο τρόπο τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας σε περιοχές του φορέα που το αρχικό δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων δεν είναι επαρκές. Με την πιθανοτική και τη στοχαστική θεώρηση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων παρέχεται η δυνατότητα εκτέλεσης μη αιτιοκρατικών αναλύσεων αξιοπιστίας του εξεταζόμενου φορέα, κατά τις οποίες μπορούν να ληφθούν υπόψη οι αβεβαιότητες στα φορτία, τις στηρίξεις και τα χαρακτηριστικά των δομικών στοιχείων του φορέα. Ο υπολογιστικός φόρτος που δημιουργείται με τη χρήση συμβατικών πεπερασμένων στοιχείων πολλαπλασιάζεται όταν πραγματοποιούνται αναλύσεις με προσαρμοστικά ή πιθανοτικά/στοχαστικά πεπερασμένα στοιχεία, αφού τόσο στην προσαρμοστική όσο και στην πιθανοτική/στοχαστική θεώρηση καλούμαστε να επιλύσουμε έναν αριθμό διαδοχικών προβλημάτων πεπερασμένων στοιχείων. Είναι επομένως εμφανής η ανάγκη αποτελεσματικού χειρισμού τέτοιων προβλημάτων, ιδίως όταν οι εξεταζόμενοι φορείς μοντελοποιούνται με μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας. Με τις τεχνικές που παρουσιάζονται στη διατριβή παρέχεται η δυνατότητα αποτελεσματικού χειρισμού προβλημάτων πεπερασμένων στοιχείων με δεκάδες ή και εκατοντάδες χιλιάδες βαθμούς ελευθερίας. Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι στο πλαίσιο της διατριβής έχει επιλυθεί ένα τρισδιάστατο πρόβλημα με περίπου 250000 βαθμούς ελευθερίας σε λιγότερο από 2 λεπτά, έχει διεξαχθεί μία πλήρης προσαρμοστική ανάλυση ενός τρισδιάστατου προβλήματος με περίπου 30000, 90000, 130000 και 180000 βαθμούς ελευθερίας για κάθε προσαρμοστικό βήμα σε περίπου 4 λεπτά και έχουν πραγματοποιηθεί 500 προσομοιώσεις για την ανάλυση αξιοπιστίας ενός κελύφους με σχεδόν 50000 βαθμούς ελευθερίας σε λιγότερο από 40 λεπτά.