Linear sigma model and chiral symmetry at finite temperature

Abstract

The chiral phase transition is investigated within the framework of the linear sigma model at finite temperature. We concentrate on the meson sector of the model, and calculate the thermal effective potential in the Hartree approximation by using the Cornwall–Jackiw–Tomboulis formalism of composite operators. The effective potential is calculated for N = 4 involving the usual sigma and three pions, and in the large–N approximation involving N − 1 pion fields. In the N = 4 case, we have examined the theory both in the chiral limit and with the presence of a symmetry breaking term, which generates the pion masses. In both cases, we have solved the system of the resulting gap equations for the thermal effective masses of the particles numerically, and we have investigated the evolution of the effective potential. In the N = 4 case, there is indication of a first–order phase transition, and the Goldstone theorem is not satisfied. The situation is different in the general case, using the large–N approximation, the Goldstone theorem is satisfied, and the phase transition is second–order. For this analysis, we have ignored quantum effects and have used the imaginary time formalism for calculations. We extended our calculation in order to include the full effect of two loops in the calculation of the effective potential. In this case, the effective masses are momentum dependent. In order to perform the calculations, we found the real time formalism to be convenient. We have calculated the effective masses of pions at the low–temperature phase and we found a quadratic dependence on temperature, in contrast to the Hartree case, where the mass is proportional to temperature. The sigma mass was investigated in the presence of massive pions, and we found a small deviation compared to the Hartree case. In all cases, the system approaches the behaviour of the ideal gas at the high temperature limit.

Η χειραλική μετάβαση φάσης διερευνάται στο πλαίσιο του γραμμικού μοντέλου σίγμα σε πεπερασμένη θερμοκρασία. Έχουμε επικεντρωθεί στον τομέα των μεσόνιων του μοντέλου, και στον υπολογισμό του θερμικού φαινομενικού δυναμικού χρησιμοποιώντας τον φορμαλισμό των σύνθετων τελεστών Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) στην προσέγγιση Hartree. Το φαινομενικό δυναμικό υπολογίζεται για την περίπτωση Ν = 4 που αφορά το σίγμα και τρία πιόνια και στην προσέγγιση μεγάλου–Ν που αφορά το σίγμα και την συμμετοχή N – 1 πεδίων πιονίων. Στην περίπτωση όπου Ν = 4 , έχουμε εξετάσει τη θεωρία τόσο στο χειραλικό όριο όσο και με την παρουσία ενός όρου που σπάει την συμμετρία, και δημιουργεί τις μάζες των πιονίων. Και στις δύο περιπτώσεις, έχουμε λύσει το σύστημα των ολοκληρωτικών μη γραμμικών εξισώσεων, που προκύπτουν και συνδέουν τις θερμικές φαινομενικές μάζες των σωματιδίων, χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους και ερευνήσαμε την εξέλιξη του θερμικού φαινομενικού δυναμικού. Στην περίπτωση Ν = 4, υπάρχει ένδειξη μιάς μετάβασης φάσης πρώτης τάξης και το θεώρημα Goldstone δεν ικανοποιείται. Η κατάσταση είναι διαφορετική στη γενική περίπτωση, χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση μεγάλου–Ν, το θεώρημα Goldstone ικανοποιείται και η μετάβαση φάσης είναι δεύτερης τάξης. Για την ανάλυση αυτή, έχουμε αγνοήσει τα κβαντικά φαινόμενα και έχουμε χρησιμοποιήσει τον φορμαλισμό φανταστικού μιγαδικού χρόνου για τους υπολογισμούς. Επεκτείνουμε τους υπολογισμούς μας, προκειμένου να συμπεριλάβουμε πλήρως τους δύο βρόχους κατά τον υπολογισμό του πραγματικού δυναμικού. Στην περίπτωση αυτή, οι θερμικές φαινομενικές μάζες εξαρτώνται και από την ορμή των σωματιδίων. Για την εκτέλεση αυτών των υπολογισμών, βρήκαμε τον φορμαλισμό πραγματικού χρόνου να είναι πιό βολικός. Έχουμε υπολογίσει τις θερμικές φαινομενικές μάζες των πιόνιων στη φάση χαμηλής θερμοκρασίας και βρήκαμε μία τετραγωνική εξάρτηση από τη θερμοκρασία, σε αντίθεση με την περίπτωση Hartree, όπου η μάζα τους είναι ανάλογη με τη θερμοκρασία. Η μάζα του σωματίου σίγμα διερευνήθηκε όταν συνυπάρχει με πιόνια που έχουν μάζα, και βρήκαμε μία μικρή απόκλιση σε σύγκριση με την περίπτωση Hartree. Σε όλες τις περιπτώσεις, το σύστημα προσεγγίζει την συμπεριφορά του ιδανικού αερίου στο όριο της πολύ υψηλής θερμοκρασίας.