Ρωγμές και εξαρμόσεις στη βαθμοελαστικότητα

Abstract

The purpose of the present thesis was to determine the elastic response of a continuum in the presence of dislocations and cracks in terms of gradient elasticity. Part of this study was to determine the advantages of gradient elasticity in comparison with classical elasticity. We presented the most necessary elements for this study, a technique of solving boundary value problems for partial differential equation systems. The specific technique, which is based on the theory of generalized functions that permits calculus over discontinuous quantities and the Fourier Transform, constitutes the modification of a partial differential equation by adding a certain singular term which describes the boundary condition. This technique is applied to two-dimensional Laplace and Helmholtz equations on the upper half plane. Also, we introduced the necessary terminology for cracks and dislocations for both crystal and continuous cases. Both cracks and dislocations are mostly considered as Somigliana dislocations. Regarding the determination of the continuum response at a given plastic deformation distribution, it is necessary to determine the relation between the magnitude of discontinuities of the displacement field and the plastic deformation which depends on the underlying constitutive equations. Thus we developed a plastic deformation model for classical elasticity on which the elaboration of a gradient elasticity plastic deformation model was based. The classical plastic deformation model was applied to the construction of simple structure modifications of classical dislocation and crack models. These constructions set the limits of applicability for classical elasticity and justified the introduction of gradient elasticity. These modifications did not suffer any stress or strain singularities and showed that it is not possible to predict the magnitude of dislocation cores or crack cohesive zones within classical elasticity. On the other hand the latter is achieved in gradient elasticity by which solutions of displacement field and stress that are constructed also do not suffer any singularities, whereas dislocation core and cohesive zone magnitude depend on the gradient coefficient. Gradient solutions are complemented with calculations of dislocation energy. We compare those calculations to corresponding lattice dynamics estimates that are obtained by calculating the energy of a partial dislocation in Gallium Nitride within an empirical interatomic Stillinger-Weber potential. The outcome is that gradient coefficient as well as dislocation self-energy and dislocation core energy have to be treated as material constants. Also these calculations for the first time generated a numerical estimate of the gradient coefficient on a specific material which confirmed older results as far as order of magnitude is concerned. Finally, gradient elasticity results are used for the review of some dislocation theory results by replacing classical elasticity with gradient elasticity.

Σκοπός της παρούσας διατριβής ήταν ο προσδιορισμός της ελαστικής απόκρισης ενός συνεχούς στην παρουσία εξαρμόσεων και ρωγμών στη θεωρία της βαθμοελαστικότητας. Μέρος αυτής της μελέτης αποτέλεσε ο προσδιορισμός των πλεονεκτημάτων της βαθμοελαστικότητας σε σχέση με την κλασσική ελαστικότητα. Παρουσιάσαμε τα αναγκαία στοιχεία γι’ αυτή τη μελέτη που είναι μια τεχνική επίλυσης προβλημάτων συνοριακών τιμών συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Η τεχνική αυτή η οποία βασίζεται στη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων που επιτρέπει την ανάλυση επί ασυνεχών μεγεθών και στο μετασχηματισμό Fourier περιλαμβάνει την επίλυση ενός συνοριακού προβλήματος με ενσωμάτωση των συνοριακών συνθηκών στη διαφορική εξίσωση με τη μορφή ενός κατάλληλου ιδιάζοντος όρου που τις αντιπροσωπεύει. Πεδίο εφαρμογής των προηγουμένων είναι οι εξισώσεις Laplace και Helmholtz στο άνω ημιεπίπεδο. Εισάγαμε την ορολογία που χρησιμοποιήθηκε για τις ρωγμές και τις εξαρμόσεις σε κρυσταλλογραφικό επίπεδο και στο επίπεδο της μηχανικής του συνεχούς ενώ επιδιώχθηκε η μελέτη των ατελειών αυτών στο ενοποιημένο πλαίσιο των εξαρμόσεων Somigliana. Για τον προσδιορισμό της απόκρισης του συνεχούς σε δεδομένη κατανομή πλαστικής παραμόρφωσης απαιτείται ο προσδιορισμός της σχέσης ανάμεσα στο μέτρο των ασυνεχειών του πεδίου μετατόπισης και της πλαστικής παραμόρφωσης η οποία εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες καταστατικές εξισώσεις. Έτσι αναπτύξαμε ένα μοντέλο πλαστικής παραμόρφωσης για την κλασσική ελαστικότητα στο οποίο βασίσαμε την ανάπτυξη ενός αντιστοίχου μοντέλου για την απλοποιημένη θεωρία της βαθμοελαστικότητας. Με τη βοήθεια του κλασσικού μοντέλου πλαστικής παραμόρφωσης προσδιορίσαμε τα όρια εφαρμογής της κλασσικής θεωρίας και αναδείχθηκε η ανάγκη εφαρμογής της βαθμοελαστικότητας κατασκευάζοντας απλής δομής τροποποιήσεις των κλασικών μοντέλων εξαρμόσεων και ρωγμών. Αυτές οι κατασκευές δεν υπέφεραν από απειρισμούς της τάσης και της παραμόρφωσης και έδειξαν ότι η πρόβλεψη του μεγέθους του πυρήνα μιας εξάρμοσης και της ζώνης συνοχής μιας ρωγμής δεν είναι εφικτή στην κλασσική ελαστικότητα. Το θεωρητικό αυτό κενό καλύπτεται από τη θεωρία της βαθμοελαστικότητας για την οποία αναπτύσσονται λύσεις του πεδίου μετατόπισης και τάσης για ρωγμές και εξαρμόσεις οι οποίες επίσης δεν υποφέρουν από απειρισμούς ενώ το μέγεθος του πυρήνα μιας εξάρμοσης και της ζώνης συνοχής μιας ρωγμής καθίστανται πλέον σταθερές υλικού εξαρτόμενες από την επιπλέον σταθερά υλικού της βαθμοελαστικότητας, το βαθμοελαστικό συντελεστή. Οι βαθμοελαστικές λύσεις συμπληρώνονται εκτελώντας ενεργειακούς υπολογισμούς για εξαρμόσεις. Συγκρίναμε αυτούς τους υπολογισμούς με αντίστοιχες εκτιμήσεις της δυναμικής θεωρίας πλεγμάτων και ειδικότερα με υπολογισμούς της ενέργειας μερικών εξαρμόσεων στο Νιτρίδιο του Γαλλίου βασισμένους σε ένα εμπειρικό διατομικό δυναμικό τύπου Stillinger - Weber. Βασικό πόρισμα αυτής της σύγκρισης είναι ότι η σταθερά που εισάγει η θεωρία της βαθμοελαστικότητας και συνεπώς η αυτοενέργεια μιας εξάρμοσης και το μέγεθος του πυρήνα πρέπει να θεωρηθεί σταθερά του υλικού. Αυτοί οι υπολογισμοί έδωσαν για πρώτη φορά μια αριθμητική εκτίμηση της τιμής του βαθμιδικού συντελεστή σε πραγματικό υλικό επιβεβαιώνοντας ως προς την τάξη μεγέθους παλαιότερες εκτιμήσεις. Τέλος τα βαθμοελαστικά αποτελέσματα χρησιμοποιούνται για την ανασκόπηση μερικών αποτελεσμάτων της φυσικής των εξαρμόσεων αντικαθιστώντας τη χρήση της κλασσικής ελαστικότητας με τη χρήση της βαθμοελαστικότητας.