Asymptotic behaniour of Schrodinger and Euler Lagrange equations near singular points

Abstract

Στη διατριβή αυτή αντιμετωπίζονται προβλήματα ιδιομορφιών που συναντώνται στις εξισώσεις Schrodinger και Euler-Lagrange, παρέχονται δε ασυμπτωτικά αναπτύγματα συναρτήσεων που έχουν ενδιαφέρον στη Φυσική. Συγκεκριμένα στο πρώτο μέρος μελετάται το ασυμπτωτικό ανάπτυγμα μικρού χρόνου του ίχνους του τελεστή της θερμότητας που ορίζεται μέσω του γενικού τυπικού τελεστή Schrodinger με ομαλές ιδιομορφίες. Αυτό το ασυμπτωτικό ανάπτυγμα μας επιτρέπει να εξετάσουμε τις προϋποθέσεις για το φασματικό προσδιορισμό του δυναμικού που εμφανίζεται σε έναν τέτοιο τελεστή. Η απάντηση είναι καταφατική εφόσον το δυναμικό είναι αναλυτική συνάρτηση σε κάποιο διάστημα (0,R) με συγκλίνον ανάπτυγμα σε δυνάμεις και λογαρίθμους καθώς χ Υ 0+. Στη συνέχεια αποδεικνύεται μία γενίκευση της ανισότητας Hardy προς την ακόλουθη κατεύθυνση: έστω P ένα γενικό τυπικό πολυώνυμο, ομογενές βαθμού m σε n-μεταβλητές με ρίζες επί του αλγεβρικού συνόλου V(P), τότε υπάρχει C>0 ώστε για κάθε f Ξ C0 ₯ (Rn V(P)) ισχύει ς Rn P-2/m f 2 dx £ C ς Rn (grad f)2 dx. Η ανισότητα αυτή, όπως και κάποιες συγγενείς απαιτεί τη χρήση τεχνικών της αλγεβρικής γεωμετρίας προκειμένου να εξεταστούν αλγεβρικά σύνολα με ιδιομορφίες, αποτελεί δε το θεμέλιο λίθο για τη μελέτη αντίστροφων προβλημάτων σε υψηλότερη διάσταση. Στο δεύτερο μέρος μελετώνται ιδιόμορφα προβλήματα του λογισμού μεταβολών. Με αφετηρία την κίνηση ενός σωματιδίου με μικρή μάζα εντός ενός ισχυρού πεδίου Yang-Mills, κατά την οποία η Λαγκρανζιανή συνάρτηση είναι γραμμική ως προς τις ταχύτητες, μελετάται η γενική τυπική Λαγκρανζιανή συνάρτηση που οδηγεί σε ιδιόμορφο μετασχηματισμό Legendre και κατ΄ επέκταση σε ιδιόμορφες εξισώσεις Euler-Lagrange. Η μελέτη εστιάζεται στην αναζήτηση των προϋποθέσεων κάτω από τις οποίες οι ιδιομορφίες των εξισώσεων αναιρούνται, οπότε έχουμε την εισαγωγή μίας κατάλληλης άλγεβρας λείων συναρτήσεων δυναμικού. Η μελέτη μας προσδιορίζει τη μορφή αυτών των συναρτήσεων κοντά στον τόπο ιδιομορφιών των εξισώσεων Euler-Lagrange. Η μελέτη απαιτεί τη λήψη διαφόρων θεωρημάτων διαίρεσης στην κατηγορία των λείων συναρτήσεων.