Αλγοριθμική και εξελικτική θεωρία παιγνίων

Abstract

We developed two algorithms for computing an e-approximate Nash equilibrium for the case where e is an absolute constant. The approximations achieved by our algorithms are e=3/4 and e=(2+l)/4 respectively, where $\lambda$ is the minimum, among all Nash equilibria, payoff of either player. Furthermore, we studied a wide class of random two player games, for which we showed how to compute an e-approximate Nash equilibrium, where e tends to zero as the number of strategies of the players tends to infinity. Game theoretic concepts are useful in determining the impact that selfish behavior plays on the global performance of a system involving selfish entities. Towards this direction, we focused on the problem of load balancing. We studied the case where the agents are not necessarily fully informed about the exact values of their loads. We focused on several models of information (e.g. when all agents know nothing about the loads, or when each agents knows her own load) and, for each model, we characterized the set of Nash equilibria and analyzed their properties. Moreover, we bounded the coordination ratio, a measure which captures the impact that selfish behavior has to the global performance of the system, in contrast to the performance achieved by an optimum centralized algorithm. Besides the computational issues related to game theory, it is interesting to investigate whether game theory can help us in developing and analyzing algorithms for computationally difficult combinatorial optimization problems. Towards this direction, we studied from a game theoretic point of view the problem of vertex coloring. In particular, we properly defined the graph coloring game and we proved that every graph coloring game has a pure Nash equilibrium, and each pure Nash equilibrium corresponds to a proper coloring of the graph. We also showed that there exists a pure Nash equilibrium that uses an optimum number of colors, i.e. equal to the chromatic number. Furthermore, we developed and analyzed a polynomial time algorithm that computes a pure Nash equilibrium for any graph coloring game, using a number of colors satisfying most of the known classical bounds on the chromatic number.

Στα πλαίσια της διατριβής αναπτύξαμε δύο από τους πρώτους αλγορίθμους υπολογισμού μιας ε-προσεγγιστικής ισορροπίας Nash για την περίπτωση όπου το ε είναι κάποια σταθερά. Οι προσεγγίσεις που επιτυγχάνουν οι αλγόριθμοί μας είναι ε=3/4 και ε=(2+λ)/4 αντίστοιχα, όπου λ είναι το ελάχιστο, μεταξύ όλων των ισορροπιών Nash, κέρδος για έναν παίκτη. Επιπλέον, μελετήσαμε μια ευρεία κλάση τυχαίων παιγνίων δύο παικτών, για την οποία υπολογίσαμε μια πολύ καλή ε-προσεγγιστική ισορροπία Nash, με το ε να τείνει στο 0 καθώς το πλήθος των διαθέσιμων στρατηγικών των παικτών τείνει στο άπειρο. Οι αρχές της θεωρίας παιγνίων είναι χρήσιμες στην ανάλυση της επίδρασης που έχει στην καθολική απόδοση ενός συστήματος διαμοιραζόμενων πόρων η εγωιστική και ανταγωνιστική συμπεριφορά των χρηστών του. Προς την κατεύθυνση αυτή, εστιάσαμε στο πρόβλημα της εξισορρόπησης φορτίου. Μελετήσαμε διάφορα μοντέλα πληροφόρησης (π.χ. όταν όλα τα φορτία είναι άγνωστα ή όταν κάθε παίκτης γνωρίζει το μέγεθος του δικού του φορτίου) και αναλύσαμε για το καθένα το σύνολο και τις ιδιότητες των ισορροπιών Nash. Yπολογίσαμε επίσης φράγματα στο λόγο απόκλισης, ο οποίος εκφράζει την επίδραση που έχει στην απόδοση του συστήματος η εγωιστική συμπεριφορά των χρηστών του. Εκτός από τα υπολογιστικά θέματα που σχετίζονται με τη θεωρία παιγνίων, έχει ενδιαφέρον να μελετηθεί κατά πόσο μπορεί η θεωρία παιγνίων να βοηθήσει στην ανάπτυξη και ανάλυση αλγορίθμων για υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Προς αυτήν την κατεύθυνση, μελετήσαμε από παιγνιοθεωρητική σκοπιά το πρόβλημα χρωματισμού των κορυφών ενός γραφήματος. Ορίσαμε κατάλληλα το παίγνιο χρωματισμού γραφήματος και αποδείξαμε ότι κάθε παίγνιο χρωματισμού γραφήματος έχει πάντα μια αγνή ισορροπία Nash, και ότι κάθε αγνή ισορροπία Nash αντιστοιχεί σε ορθό χρωματισμό του γραφήματος. Δείξαμε επίσης ότι υπάρχει πάντα μια αγνή ισορροπία Nash που χρησιμοποιεί βέλτιστο αριθμό χρωμάτων, δηλαδή ίσο με το χρωματικό αριθμό του γραφήματος. Επιπλέον, περιγράψαμε και αναλύσαμε έναν πολυωνυμικό αλγόριθμο που υπολογίζει μια αγνή ισορροπία Nash για ένα οποιοδήποτε παίγνιο χρωματισμού γραφήματος και χρησιμοποιεί συνολικά ένα πλήθος χρωμάτων που ικανοποιεί ταυτόχρονα τα περισσότερα κλασικά γνωστά φράγματα στο χρωματικό αριθμό.