Υπολογιστικές μέθοδοι για τροχιακά προβλήματα και άλλα σχετικά και ταλαντωτικά προβλήματα

Abstract

We will study second order initial value problems of the form: Problems with periodic and oscillating solutions, which have the above general form have been a very important subject of research activity the last years. Such problems are divided into two categories. The first category consists of problems with known frequency and the second consists of problems that we don’t know their frequency. According to the previous there are two categories of numerical methods for the solution of those problems. The methods of the first category need the frequency of the problem for their application and for the methods of the second category the knowledge of the frequency is not necessary. In this dissertation we developed symmetric multistep methods. More analytically this dissertation has the following structure. In chapter 1 the general problem and a summary of the history of the research activity about it are given. In chapters 2 and 3 there is the theory developed, on which this dissertation is based. In chapter 2 the definition of symmetric methods and the relevant theorems are given and in chapter 3 phase-lag analysis is presented. In chapter 4 a symmetric eight-step explicit method of algebraic order eight with minimal phase-lag and a symmetric eight-step explicit method of algebraic order eight with phase – lag of order infinite (phase- fitted) with interval of periodicity equal to (0, 0.52) and (0, 0.64) are developed. In this chapter the theory of the phase-lag and of the interval of periodicity for explicit multistep methods is also described. Finally, the new developed methods are applied to the radial time independent Schrodinger equation, orbital problems and related problems with oscillating solution. Comments on the numerical results are given. In chapter 5 a symmetric eight-step implicit method of algebraic order ten with minimal phase-lag and a symmetric eight step implicit method of algebraic order ten with phase – lag of order infinite (phase- fitted) with interval of periodicity equal to (0, 1.29) and (0, 3.36) are developed. In this chapter the theory of the phase-lag and of the interval of periodicity for implicit multistep methods is also described. Finally, the new developed methods are applied to the radial time independent Schrodinger equation, orbital problems and related problems with oscillating solution. Comments on the numerical results are given. In chapter 6 a new Embedded Predictor-Corrector (EPCM) pair form is constructed and from this form, a symmetric eight-step embedded predictor-corrector method (EPCM) of algebraic order ten and minimal phase-lag is developed. In this chapter the theory of the phase-lag and of the interval of periodicity for multistep predictor-corrector methods is also described. The interval of periodicity is also computed. Finally, the new developed method is applied to the radial time independent Schrodinger equation, orbital problems and related problems with oscillating solution. Comments on the numerical results are given. In chapter 7 a new Semi-Embedded Predictor-Corrector pair form (SEPCM) is constructed and from this form, a symmetric eight-step semi-embedded predictor-corrector method (SEPCM) of algebraic order ten with phase – lag of order infinite (phase- fitted) is developed. For the new method the local truncation error and the interval of periodicity are given. The efficiency of the new developed method is measured through the integration of seven initial value problems with oscillating solution. Comments on the numerical results are given. In chapter 8 new directions in research areas are given where there are still open problems

Θα μελετήσουμε το γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών και δευτέρας τάξεως το οποίο έχει περιοδική λύση. Προβλήματα με περιοδική λύση τα οποία έχουν την προαναφερθείσα μορφή αποτέλεσαν ένα ιδιαίτερα σημαντικό θέμα ερευνητικής δραστηριότητας τα τελευταία χρόνια. Αυτά τα προβλήματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από προβλήματα με γνωστή συχνότητα και η δεύτερη αποτελείται από προβλήματα που δεν γνωρίζουμε την συχνότητά τους. Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα υπάρχουν δύο κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων για την λύση αυτών των προβλημάτων. Οι μέθοδοι της πρώτης κατηγορίας χρειάζονται την συχνότητα του προβλήματος για την εφαρμογή τους ενώ για τις μεθόδους της δεύτερης κατηγορίας η γνώση της συχνότητας δεν είναι απαραίτητη. Σε αυτή την διατριβή αναπτύξαμε συμμετρικές γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους άμεσες, έμμεσες και πρόβλεψης-διόρθωσης με minimal phase-lag ή phase-fitted. Αναλυτικότερα η διατριβή έχει την ακόλουθη δομή. Στο κεφάλαιο 1, δίνεται το γενικό πρόβλημα, με το οποίο θα ασχοληθούμε, όπως και μια ιστορική αναδρομή για την ερευνητική δραστηριότητα σχετικά με αυτό μέχρι σήμερα. Στα κεφάλαια 2 και 3 υπάρχει το θεωρητικό υπόβαθρο της παρούσης διατριβής. Στο κεφάλαιο 2 δίνεται ο ορισμός των συμμετρικών μεθόδων, καθώς και τα σχετικά θεωρήματα και στο κεφάλαιο 3 εξηγείται και μελετάται η υστέρηση φάσης (phase-lag) των συμμετρικών μεθόδων. Στο κεφάλαιο 4 αναπτύσσουμε δύο άμεσες συμμετρικές γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους οκτώ βημάτων όγδοης αλγεβρικής τάξης από τις οποίες η μία έχει minimal phase-lag και διάστημα περιοδικότητας (0, 0.52) και η άλλη έχει άπειρη υστέρηση φάσης (phase-fitted) και διάστημα περιοδικότητας (0, 0.64). Αναπτύσσεται επίσης όλη η απαιτούμενη θεωρία τόσο για την ευστάθεια και για την υστέρηση φάσης όσο και για τις άμεσες γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους. Επίσης αναπτύσσονται όλα τα απαιτούμενα θεωρητικά εργαλεία. Τέλος εφαρμόζουμε τις μεθόδους στην μονοδιάστατη και χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση του Schrodinger με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon, σε τροχιακά προβλήματα και άλλα σχετικά και ταλαντωτικά προβλήματα και σχολιάζουμε τα αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο 5 αναπτύσσουμε δύο έμμεσες συμμετρικές γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους οκτώ βημάτων δέκατης αλγεβρικής τάξης από τις οποίες η μία έχει minimal phase-lag και διάστημα περιοδικότητας (0, 1.29) και η άλλη έχει άπειρη υστέρηση φάσης (phase-fitted) και διάστημα περιοδικότητας (0, 3.36). Μελετούμε την αλγεβρική τάξη και την υστέρηση φάσης. Υπολογίζουμε για κάθε μια από αυτές τις μεθόδους το διάστημα περιοδικότητας. Τέλος εφαρμόζουμε τις μεθόδους στην μονοδιάστατη και χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση του Schrodinger με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon, σε τροχιακά προβλήματα και άλλα σχετικά και ταλαντωτικά προβλήματα και σχολιάζουμε τα αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο 6 καταρχήν βασιζόμενοι στην εργασία του J.D.Lambert [299], αναπτύσσουμε τον τρόπο κατασκευής γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων πρόβλεψης – διόρθωσης για το γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών δευτέρας τάξεως. Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε ένα θεώρημα για τους συντελεστές του δεξιού μέλους των γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων. Διατυπώνουμε επίσης και αποδεικνύουμε ένα δεύτερο θεώρημα για τους συντελεστές του δεξιού μέλους των έμμεσων γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων. Κατόπιν αναπτύσσουμε έναν νέο τύπο γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων πρόβλεψης – διόρθωσης με μειωμένο υπολογιστικό κόστος για το γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών δευτέρας τάξεως (Εμπεριέχων) στον οποίο ο τύπος της μεθόδου διόρθωσης εμπεριέχει πλήρως τον τύπο της μεθόδου πρόβλεψης και διατυπώνουμε τον ορισμό της Εμπεριέχουσας Μεθόδου Πρόβλεψης–Διόρθωσης (ΕΠΔΜ) (Embedded Predictor-Corrector Method, (EPCM)). Από αυτό το νέο τύπο αναπτύσσουμε έναν ακόμα νέο μονοπαραμετρικό τύπο ((ΕΠΔΜ), (EPCM)) και από αυτόν μια νέα συμμετρική γραμμική πολυβηματική μέθοδο πρόβλεψης – διόρθωσης οκτώ βημάτων με δέκατη αλγεβρική τάξη και minimal phase-lag, για προβλήματα με γνωστή ή εκτιμώμενη συχνότητα. Κατόπιν δίνονται το διάστημα περιοδικότητας και το σφάλμα αποκοπής της νέας μεθόδου. Τέλος εφαρμόζουμε τη νέα μέθοδο στην μονοδιάστατη και χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση του Schrodinger με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon, σε τροχιακά προβλήματα και άλλα σχετικά και ταλαντωτικά προβλήματα και σχολιάζουμε τα αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο 7 αναπτύσσουμε έναν νέο τύπο γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων πρόβλεψης – διόρθωσης με μειωμένο υπολογιστικό κόστος (Μερικώς Εμπεριέχων) για το γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών δευτέρας τάξεως. Διατυπώνουμε τον ορισμό της Μερικώς Εμπεριέχουσας Μεθόδου Πρόβλεψης–Διόρθωσης (ΜΕΠΔΜ) (Semi-Embedded Predictor-Corrector Method, (SEPCM)). ...