Large-scale, nonlinear computations with parallel iterative methods: application in the analysis of transport phenomena

Abstract

Large-scale computations are often required, in order to ‘capture’ mechanisms pertaining to transport phenomena, which involve many continuum spatial scales, usually in complicated geometries. For instance, a fine spatial discretization - leading to large-scale problems - is often required for ‘introverted’ mechanisms to ‘reveal’ themselves. Large-scale computations could also come from the need to capture singular behaviors near rough edges of boundaries or abrupt changes of boundary conditions, which also demands fine spatial discretization near the singularity. Therefore, it is of primary importance that the numerical procedures, used to tackle problems in transport phenomena, are efficiently parallelizable. Also, the programming model that is implemented in the numerical procedures should exploit the modern computer architectures as much as possible. Realizing this, we strive to create a general framework for cost-effective parallel computations in modern computers, applied to the research in transport phenomena. To be fair, cost-effectiveness cannot only rely on the parallelization of the procedures. In this work, is also adopted a nothing-goes-to-waste philosophy in the computational method that improves the overall cost-effectiveness. Regarding this, two different methods are proposed for extracting useful information about the critical instabilities of physical systems by processing by-products of the solution procedure. Another approach in this work for improving cost-effectiveness lies in the reduction of the degrees of freedom by incorporating a hybrid semi-analytic method in Laplace-type problems that efficiently accounts for possible singularities in the solution. Thus, the excessive mesh refinement at the singularity to capture its behavior is not needed, which results in a radical decrease of the degrees of freedom. To sum up, the proposed framework is divided in three branches: the efficient parallelization through a hybrid programming model, the implementation of two parallel-efficient iterative procedures utilizing their by-products for stability analysis, and the reduction of the degrees of freedom by a hybrid semi-analytic method.

Οι υπολογισμοί μεγάλης κλίμακας συχνά απαιτούνται για τη διερεύνηση μηχανισμών που συσχετίζονται με τα φαινόμενα μεταφοράς και υφίστανται σε πολλαπλές χωρικές κλίμακες του συνεχούς, συχνά σε περίπλοκες γεωμετρίες. Για παράδειγμα, απαιτείται πυκνή χωρική διακριτοποίηση - που οδηγεί σε μεγάλης κλίμακας προβλήματα - για να ‘αποκαλυφθούν’ διάφοροι ‘εσωστρεφείς’ μηχανισμοί. Οι υπολογισμοί μεγάλης κλίμακας προέρχονται επίσης από την ανάγκη του ακριβούς υπολογισμού ιδιαζουσών συμπεριφορών κοντά σε ακμές των συνόρων ή λόγω απότομων μεταβολών των συνοριακών συνθηκών, το οποίο απαιτεί επίσης πυκνή χωρική διακριτοποίηση. Για τους παραπάνω λόγους έχει μεγάλη σημασία, οι υπολογιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στην επίλυση των προβλημάτων των φαινομένων μεταφοράς να είναι αποδοτικά παραλληλοποιήσιμες. Επίσης, το παράλληλο προγραμματιστικό μοντέλο που χρησιμοποιείται από τις υπολογιστικές μεθόδους πρέπει να εκμεταλλεύεται στο έπακρο τις μοντέρνες αρχιτεκτονικές των υπολογιστών. Οι προσπάθειες σε αυτήν την εργασία επικεντρώνονται στην κατασκευή ενός υπολογιστικού πλαισίου για αποδοτικούς παράλληλους υπολογισμούς σε σύγχρονους υπολογιστές, με εφαρμογή στα φαινόμενα μεταφοράς. Η αποδοτικότητα στους υπολογισμούς, όμως, δεν μπορεί να βασίζεται μόνο στην παραλληλοποίηση τους. Επιπλέον, ενσωματώνεται στο υπολογιστικό πλαίσιο μια τακτική εκμετάλλευσης παραπροϊόντων των υπολογιστικών μεθόδων που βελτιώνει την αποδοτικότητα τους. Σε σχέση με αυτό, προτείνονται δύο διαφορετικές μέθοδοι για την εξαγωγή χρήσιμων πληροφοριών που αφορούν σε κρίσιμες αστάθειες φυσικών συστημάτων, από παραπροϊόντα των μεθόδων. Μια άλλη προσέγγιση για εξοικονόμιση υπολογισμών συνίσταται στη μείωση των βαθμών ελευθερίας του συστήματος με τη χρήση μιας υβριδικής ημι-αναλυτικής μεθόδου σε προβλήματα τύπου Laplace, που αντιμετωπίζει επιτυχώς πιθανές ιδιομορφίες της λύσης. Με αυτόν τον τρόπο, δεν απαιτείται πύκνωση του πλέγματος κοντά στην ιδιομορφία, με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση των βαθμών ελευθερίας. Συνοψίζοντας, το προτεινόμενο υπολογιστικό πλαίσιο χωρίζεται σε τρεις κλάδους: την αποδοτική παραλληλοποίηση μέσω ενός υβριδικού μοντέλου προγραμματισμού, τη χρήση δύο αποδοτικά παραλληλοποιήσιμων επαναληπτικών μεθόδων που εκμεταλλεύονται παραπροϊόντα με στόχο την ανάλυση ευστάθειας, και τη μείωση των βαθμών ελευθερίας μέσω μιας υβριδικής ημι-αναλυτικής μεθόδου.