Μελέτη ειδικών κατηγοριών πολλαπλοτήτων επαφής Riemann

Abstract

The main object of this Doctoral Thesis is the study of the geometry of 3-dimensional H-contact metric manifolds, or, equivalently, the contact metric manifolds whose the vector field ξ is an eigenvector of the Ricci operator Q. More precisely, it is proved that 3-dimensional H-contact metric manifolds [M, (η, ξ, φ, g)] are geometrically characterized by a specific curvature condition and three differentiable functions κ, μ and ν of M. This condition leads to the introduction of a new class of contact metric manifolds: the (κ, μ, ν)-contact metric manifolds. It is remarkable that for dimension greater than three, such manifolds are reduced to (κ, μ)-contact metric manifolds, i.e. the functions κ, μ are constants and the function ν is the zero function. On the contrary, in three dimension (κ, μ, ν)-contact metric manifolds exist. Another problem which is studied is the classification of biharmonic Legendre curves and anti-invariant surfaces immersed in 3-dimensional (κ, μ, ν)-contact metric manifolds. It is proved that biharmonic Legendre curves in 3-dimensional (κ, μ, ν)-contact metric manifolds are necessarily geodesics. Furthermore, it is proved that biharmonic and without minimal points anti-invariant surfaces immersed in 3-dimensional generalized (κ, μ)-contact metric manifolds with constant norm of the mean curvature vector field, are locally flat.

Το κύριο αντικείμενο της διατριβής συνίσταται στη μελέτη της γεωμετρίας των τρισδιάστατων H-μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής, ή, ισοδύναμα, των μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής για τις οποίες το διανυσματικό πεδίο ξ είναι πεδίο ιδιοδιανυσμάτων του τελεστή Ricci Q. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι μια τρισδιάστατη H-μετρική πολλαπλότητα επαφής [Μ, (η, ξ, φ, g)] χαρακτηρίζεται γεωμετρικά από μια συνθήκη που εμπλέκει τον τανυστή καμπυλότητας της Μ και τρεις διαφορίσιμες συναρτήσεις κ, μ και ν της Μ. Η συνθήκη αυτή οδηγεί στην εισαγωγή μιας νέας κλάσης μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής: τις (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής. Το ενδιαφέρον με τις (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής είναι ότι για διάσταση μεγαλύτερη του τρία εκφυλίζονται στις (κ, μ)-πολλαπλότητες επαφής, δηλαδή, οι συναρτήσεις κ, μ είναι σταθερές και η συνάρτηση ν είναι η μηδενική συνάρτηση. Αντιθέτως, αποδεικνύεται ότι τέτοιες μετρικές πολλαπλότητες επαφής υπάρχουν στη διάσταση τρία. Ένα άλλο από τα προβλήματα που εξετάζονται σ' αυτή τη διατριβή είναι ο χαρακτηρισμός των διαρμονικών καμπυλών του Legendre και των αντι-αναλλοίωτων επιφανειών εμβυθισμένων σε τρισδιάστατες (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι οι διαρμονικές καμπύλες του Legendre είναι οι γεωδαισιακές αυτών των χώρων. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι οι διαρμονικές και χωρίς ελαχιστικά σημεία αντι-αναλλοίωτες επιφάνειες που είναι εμβυθισμένες σε τρισδιάστατες γενικευμένες (κ, μ)-πολλαπλότητες επαφής και των οποίων το μέτρο του διανυσματικού πεδίου της μέσης καμπυλότητας είναι σταθερό, είναι τοπικά Ευκλείδειες.