Αδρομερής προσομοίωση περίπλοκων φυσικοχημικών και βιολογικών συστημάτων με μεθόδους ανάλυσης πολλαπλών κλιμάκων, διακλάδωσης και ομοιοτυπίας

Abstract

One of the main challenges in contemporary scientific problems is the simulation of complicated systems, the behavior of which is determined by the interaction of multiple time and space scales. Especially, in engineering applications, the main challenge is to predict the macroscopic (coarse) behavior of physicochemical and biological systems starting from models which describe processes at the microscopic level. The main target of the present dissertation is to complete the deficient synergy between traditional numerical methods, applied at macroscopic level, and microscopic simulations. A computational framework is developed and permits the efficient study of such systems applying multiscale methods, bifurcation analysis and self-similar solution computations. The generality and adaptability of these methods enables their application in a large variety of problems. We studied cell population balance models, where the main interest is to investigate the cell heterogeneity effect on the phenotype of cell populations, bearing the same gene regulatory network. This study sets of a way to bridge the gap between scales of different magnitude (cell vs cell population). The application of bifurcation analysis showed the existence of a range of parameter values (such as the extracellular inducer concentration) where the cell population phenotype exhibits bi-stability. The bi-stability range appears also at the single cell level, however it is restricted due to the cell heterogeneity effect. We analyzed the instability mechanisms appearing in polymer extrusion processes where, at a certain range of volumetric flow rate, oscillating solutions are observed. This behavior has also been observed experimentally; the application of bifurcation analysis indicated a range of volumetric flow rate values, where stable periodic and steady state solutions co-exist. In this dissertation, we mainly focus on problems with continuous symmetries and especially problems with translational invariance and self-similarity. The main feature of self-similar solutions, is that they evolve towards scales of larger magnitude (blow up solutions) or scales of smaller magnitude (decaying solutions) preserving their shape invariant under certain transformations. The computation of self-similar solutions accommodates the efficient study of such problems, avoiding the transient simulations at critical times where the scale of the solution differs by orders of magnitude from the initial condition. We develop and apply the template-based method which permits the construction of a co-evolving coordinate framework, where the rescaled solution evolves towards the invariant shape, namely self-similar or translationally invariant, solution. In problems with translational invariance, we examine the Nagumo equation, where the traveling invariant solution and the moving front velocity are computed. The method can also be adapted and modified for the computation of self-similar solutions and their similarity exponents; cases examined are one-dimensional and two-dimensional diffusion equations. It can be also adapted for problems with combined translational and scale invariance (Burgers equation). The modified projective integration algorithm is developed for the acceleration of temporal computations in problems with continuous symmetries. The co-evolving frame is determined through the application of the template-based method and the projection is applied in this frame. The efficiency of projective integration in the co-evolving frame is demonstrated for the Nagumo equation and the one dimensional diffusion equation. The “equation-free” method is applied in systems simulated at micro-scale level. This technique aspires to bridge the gap between the observed time and spatial scales, extracting coarse information from the execution of appropriately initialized computational experiments. The key idea in this computational framework is to construct the so-called coarse time integrator, where traditional computational methods used for the study of partial differential equation problems can also be applied. We applied the template-based method for the computation of coarse self-similar solutions in a particle diffusion problem, the dynamic behaviour of which is determined by Monte Carlo algorithms. The application of the modified coarse projective integration accelerates the temporal computations and preserves the accuracy of the obtained results. The modified coarse projective integration scheme is applied in a diffusion-reaction problem with moving front solutions. The dynamic simulation is performed by a kinetic Monte Carlo algorithm. We use Fourier coefficients for the coarse description of the system and a co-evolving coordinate framework is developed using trigonometric template functions.

Μία από τις κυριότερες προκλήσεις που καλείται να αντιμετωπίσει η σύγχρονη επιστημονική έρευνα είναι η προσομοίωση περίπλοκων συστημάτων, η συμπεριφορά των οποίων καθορίζεται από την αλληλεπίδραση πολλαπλών χωρικών και χρονικών κλιμάκων (multiscale problems). Ιδιαίτερα όσον αφορά στις επιστήμες μηχανικού, η μεγάλη πρόκληση είναι η πρόβλεψη της μακροσκοπικής (ή αδρομερούς) συμπεριφοράς φυσικοχημικών και βιολογικών συστημάτων με αφετηρία/βάση πρότυπα (μοντέλα) που περιγράφουν τη λειτουργία του συστήματος σε μικροσκοπικό επίπεδο. Ο βασικός στόχος της παρούσας διατριβής είναι η συμπλήρωση της ελλιπούς συστηματικής συνέργειας μεταξύ των κλασικών μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης, που εφαρμόζονται σε μακροσκοπικό επίπεδο και σε συνεχές μέσο, και της μικροσκοπικής προσομοίωσης, που αφορά σε μη συνεχές μέσο. Αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό πλαίσιο που θα επιτρέπει την αποτελεσματικότερη μελέτη τέτοιων συστημάτων με μεθόδους πολλαπλών κλιμάκων, ανάλυσης διακλάδωσης (bifurcation) και ομοιοτυπίας (self-similarity). Η γενικότητα και προσαρμοστικότητα των μεθόδων αυτών επιτρέπει την εφαρμογή τους σε ένα μεγάλο εύρος προβλημάτων. Αντιμετωπίστηκαν προβλήματα ισοζυγίων κυτταρικών πληθυσμών, όπου διερευνάται η επίδραση της κυτταρικής ετερογένειας στο φαινότυπο κυττάρων που φέρουν το ίδιο ρυθμιστικό γενετικό δίκτυο. Η μελέτη αυτή αναδεικνύει ένα δρόμο για τη γεφύρωση του χάσματος μεταξύ κλιμάκων που διαφέρουν κατά τάξεις μεγέθους (κύτταρο - φαινότυπος κυτταρικού πληθυσμού). Η εφαρμογή μεθόδων ανάλυσης διακλάδωσης, ανέδειξε μία περιοχή παραμέτρου εξωκυτταρικής συγκέντρωσης ενεργοποιητή του γενετικού δικτύου, στην οποία ο φαινότυπος του κυτταρικού πληθυσμού εμφανίζει διπλο-ευστάθεια. Η περιοχή αυτή εμφανίζεται και στο επίπεδο του ενός κυττάρου, εντούτοις το εύρος της περιορίζεται, λόγω της κυτταρικής ετερογένειας στο επίπεδο κυτταρικού πληθυσμού. Αναλύθηκε ένα σύστημα εκβολής πολυμερικών υλικών όπου μελετώνται οι μηχανισμοί αστάθειας, οι οποίοι εκδηλώνονται με την εμφάνιση ταλαντωτικής συμπεριφοράς σε ένα εύρος τιμών ογκομετρικής παροχής. Η συμπεριφορά αυτή έχει παρατηρηθεί και πειραματικά, εντούτοις η ενδελεχής μελέτη του μακροσκοπικού μοντέλου που περιγράφει το σύστημα, με μεθόδους ανάλυσης διακλάδωσης, ανέδειξε την περιοχή τιμών ογκομετρικής παροχής, όπου η λύση εμφανίζει ευσταθείς περιοδικές λύσεις και λύσεις μόνιμης κατάστασης. Ιδιαίτερη έμφαση στη διατριβή αυτή δίνεται στην αντιμετώπιση προβλημάτων τα οποία χαρακτηρίζονται από συμμετρία μετατόπισης και ομοιοτυπία. Το βασικό γνώρισμα των ομοιότυπων λύσεων είναι ότι εξελίσσονται προς ολοένα και μεγαλύτερες κλίμακες χώρου με «εκρηκτικό» τρόπο (blow up) ή ολοένα και μικρότερες με ραγδαία απόσβεση (decaying), διατηρώντας το σχήμα τους σταθερό (υπό κλίμακα). Επομένως, η εύρεση ομοιότυπων λύσεων διευκολύνει σε σημαντικό βαθμό την αποτελεσματική προσομοίωση του προβλήματος, αποφεύγοντας τη μελέτη του σε χρόνους όπου η λύση φθάνει σε κλίμακες μεγέθους που διαφέρουν κατά τάξεις μεγέθους από τις αρχικά παρατηρούμενες. Αναπτύσσεται και εφαρμόζεται η μέθοδος συνάρτησης-οδηγού, η οποία επιτρέπει τη δυναμική διαμόρφωση ενός μετασχηματισμένου πλαισίου συντεταγμένων στο οποίο προσεγγίζεται ασυμπτωτικά η αναλλοίωτη μετασχηματισμένη μορφή των λύσεων. Στην περίπτωση προβλημάτων με συμμετρία μετατόπισης, εξετάζεται η εξίσωση Nagumo όπου υπολογίζεται η αναλλοίωτη υπό μετατόπιση μετασχηματισμένη λύση, καθώς επίσης και η ταχύτητα του κινούμενου μετώπου. Η μέθοδος κατάλληλα προσαρμοσμένη εφαρμόζεται και για τον υπολογισμό ομοιότυπων λύσεων και των σχετικών εκθετών ομοιότητάς τους στο πρόβλημα της μονοδιάστατης και δι-διάστατης διάχυσης και σε προβλήματα με συνδυασμό συμμετρίας μετατόπισης και αναλλοίωτου υπό κλίμακα, με χαρακτηριστικό παράδειγμα την εξίσωση Burgers. Αναπτύχθηκε ο τροποποιημένος αλγόριθμος χρονικής προβολής, ο οποίος εφαρμόζεται για την επιτάχυνση των δυναμικών υπολογισμών σε συμμετρικά προβλήματα. Διαμορφώνεται το συμμεταβαλλόμενο πλαίσιο συντεταγμένων εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία συνάρτησης-οδηγού και πραγματοποιείται η χρονική προβολή σε αυτό το πλαίσιο. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής αυτής είναι η επιτάχυνση των υπολογισμών διατηρώντας την ακρίβεια των υπολογισμών. Περιγράφεται η «ελεύθερη εξισώσεων» (equation-free) μεθοδολογία η οποία εφαρμόζεται σε συστήματα η περιγραφή της δυναμικής των οποίων είναι διαθέσιμη σε επίπεδο μικρο-κλίμακας.