Προσομοίωση μηχανικής συμπεριφοράς υαλωδών πολυμερών και συνθέτων υλικών: ιξωδοπλαστική προσέγγιση και ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία

Abstract

In general, all the solid polymer materials exhibit an interesting peculiarity (transition in real words): they could reveal any kind of behaviour like that of a glassy solid, an elastomer or a viscous liquid depended of the temperature, the time scale of testing and the history of the specimen. Or, in a more astonished manner, all these responses could coexist in a more complex behavior as a result of specific excitation conditions. The description of every state demand generally different approximation and mathematical formulation all of which we'll see extensively. Although these approximations could with appropriate modifications and admissions lead to the forecasting of the behavior of composite materials too, the use of finite elements analysis becomes indispensable cause the enhance complication of the developing stress and strain fields. All these are presented briefly in chapters 1 and 2. In chapter 3 the elastomer state is analysed and the two most important approximations are presented which lead in a Gaussian the first and in a non-Gaussian distribution the second. The corresponding constitutive equations in three dimensions are quoted. The viscoelastic behaviour of polymers is described and analytically presented in chapter 4. The Boltzmann Superposition Principle and the use of a general differential equation are two alternative ways to connect the stress and strains in linear viscoelasticity. In the second case, entirely equivalent^, the description of viscoelastic behaviour could result from the use of models constructed from elastic springs and viscous dashpots. From a different point of view, the non-linear viscoelasticity, which the polymers frequently exhibit, faced with the use of approximation theories in molecular, Theological or/and empirical base, like: the Schapery approximation, the stress-clock function of Bernstein-Shokooh, the Kohlraush-Williams-Watts equation and the viscous theory of Eyring. The temperature, the strain rate, the pressure and also a rank of other parameters influence considerably the general polymer mechanical behaviour and so their plastic response. But, although the polymers couldn't regarded as perfect plastic materials, their yielding behaviour could in a first approximation studied through perfect plasticity theories, be enough these parameters to deserved constant and to choice conditions so as not to take place adiabatic heating. From extensively ranks of experiments was confirmed that von Mises modified criterion has huge application in the case of polymers. Many times also the non-linear viscoelasticity used for the modelling of yield process in polymers eg through the use of the Schapery relation and the KWW equation for the representation of a wide relaxation time distribution. Respectively the Eyring viscous theory could be enhanced so as to described and the yield process, but its obscuring parameters and the absence of strain softening terms are some of its disadvantage. Argon suggest that the yielding correspond to the elastic interactions overcoming of one molecular chain and its neighbourhood. So, the resistance to plastic deformation at the yield point arise essentially from the interactions between the molecules. The appearing inhomogeneity during the yielding is another one feature of glassy polymers. The inhomogeneity nature of shear strains during the yielding with the appearance of shear zones led Bowden and Raha in the development of a thermally activated rate process for the yield in polymeric glasses using the basic principles of dislocations. From a different point of view G'Sell and Jonas used the known expression of Orowan to attain an exact representation of true stress-strain curves and also all the accompanied features, like: strain softening, transition phenomena, physical aging, softening after cyclic loading etc (chapter 5). More specific, at the present work were investigated three different approximations for the determination of the total three dimensional mechanical response of glassy polymers. At first the Boyce, Parks and Argon model was presented (that essentially is an evolution of Haward-Thackray model). It consists from three components: one linear elastic spring in series with a viscous dashpot and a non-linear elastic hardening spring. With the two last components act in parallel. Adopting the elastoplastic analysis of Lee and the simplification admission of Fardshisheh and Onat, that all the spin processes be added in the plastic deformation, the analysis facilitated remarkably. In the BPA model the Argon expression is modified so as include the dependence of pressure, the physical aging and the description of strain softening. At last, the entropie resistance, from the gradually orientation of molecular chains, is approximated with the use of non-Gaussian statistical mechanics of Wang and Guth. G'Sell and Jonas in a different manner tried to modelling the behaviour of flow based in the dynamic of plastic waves and co-estimate the observation that the stress flow is increasing function of strain and its rate too. In contrast with the BPA model, for the description of true yield drop and all the transitions features, they assumed the existence of localized molecular discontinuities (plastic waves) of linear character, that could initiate and motivate with the action of an effective stress. So, the rate of plastic strains could be expressed within the form of Orowan, according to: the rate of plastic strains isproportional of plastic wave density. Finally, in Rubin analysis an appropriate vector triad is introduced, through of which could characterized the dilatation, distortion and orientation of average atomic lattice in present configuration, in relation with the reference configuration of lattice. This kinematics assure the possibility of solving the problem knowing only the first and the last configurations and so there is no need for knowing the full path of body (chap. 6). The reference material was an epoxide resin with relatively low glass transition temperature. Uniaxial tension and compression tests were conducted in a broad strain rates. This certain material, under the conditions that was tested, exhibited characteristic yield peak be followed from strain softening whereas at the last state revealed hardening (for the case of compression loading). So, for the dependence of yield stress with the strain rate we accepted the relations of Argon and Eyring. And the state of hardening was approached mainly using the three chain model of James and Guth. For the initial viscoelastic part appropriate models were applied and examined, like the Maxwell model, the standard solid (three parametric), four parametric models and also non-linear viscoelastic models. In the BPA approach the load drop approximated through the changing of athermal shear resistance that we accept a progressive decreas versus appearing plastic strains. Finally, the dependence of yield stress from hydrostatic pressure obtained through the dependence of athermal shear resistance from pressure. In G'Sell and Jonas model, was considered that the density of plastic sites don't remain constant but increase versus stress, linear in a first approximation. In the present work we used the approximation of Gilman and Johnston of continuous increasing of density. Correspondingly in Rubin analysis we considered at first the rate of plastic rotations zero and we follow the same approximations as the BPA model. The application of these theories in the examined polymers gave interesting results not only for the certain material but also for the models. In the next two chapters of present dissertation made the analysis, elastic and elastoplastic, of composite materials. In chapter 8 we performed the elastic analysis. The results that were obtained from finite element analysis they used as reference values for the analysis and comments of the most applicable models for the estimation of Young modulus Ec of composite materials. So, the limits of the characteristic properties of the composite (volume ratio, elasticity modulus, Poisson ratios) and the relation factors for which all these are validated were defined. Estimating the diversions from the reference state could be possible to define qualitatively the total behavior of a composite and to answer for a rank of material features like the interaction of dispersed phase, the imperfections, the aggregations, the bonding degree, the existence of mesophase etc. Next, we gave an alternative relation that essentially became from the remarks had appeared including all the critical features. At the end we carried out a comparing of the finite elements findings with the experimental results obtained from this, in laboratory prepared,composite material. The determination of the appearing diversions gave interestinginformation for the behavior of these composites. At last, in chapter 9 we expand in composites the already from the chap. 7 used procedures for the modelling of pure polymeric materials. But firstly, were made suitable modifications, additions and enhancements, in the basis of succession observations. For this purpose were performed uniaxial tension and compression tests on the prepared in laboratory composites materials. The analysis of stress and strain fields was obtained with the tool of finite elements. The yield features of composite materials were determined and we tried their analytic description. Reversibly, in the base of derived information from the analysis of composites and expanding of conclusions, we derived original components for the following conditions, mechanism and the evolution of yield in the pure polymer materials.

Κατά κανόνα όλα τα στερεά πολυμερικά υλικά εμφανίζουν μια ενδιαφέρουσα “ιδιοτροπία”⁽¹⁾ (μετάβαση στην πραγματικότητα): μπορούν να εκδηλώσουν οποιοδήποτε είδος συμπεριφοράς όπως εκείνο ενός υαλώδους στερεού, ενός ελαστικού ελαστομερούς ή ενός ιξώδους ρευστού ανάλογα με τη θερμοκρασία, τη χρονική κλίμακα του ελέγχου και την προϊστορία του δοκιμίου ή ακόμα πιο εντυπωσιακά οι εν λόγω εκδηλώσεις μπορούν να συνυπάρχουν μέσα σε μια συνθετότερη απόκριση ως αποτέλεσμα συγκεκριμένων συνθηκών διέγερσης. Η περιγραφή της κάθε κατάστασης απαιτεί εν γένει διαφορετική προσέγγιση και μαθηματική περιγραφή τις οποίες θα παρουσιάσουμε εκτενώς⁽²⁾. Αν και οι εν λόγω προσεγγίσεις δύναται με κατάλληλες τροποποιήσεις και παραδοχές να οδηγήσουν στην πρόβλεψη της συμπεριφοράς και των συνθέτων υλικών, η χρήση των πεπερασμένων στοιχείων καθίσταται απαραίτητη λόγω της αυξημένης πολυπλοκότητας των εμφανιζομένων τασικών και παραμορφωσιακών πεδίων. Αυτά παρουσιάζονται συνοπτικά στα κεφάλαια 1 και 2. Στο κεφάλαιο 3 αναλύεται η ελαστομερής κατάσταση όπου παρατίθενται οι δύο πιο σημαντικές προσεγγίσεις που μας οδηγούν η πρώτη στη λήψη μιας Γκαουσιανής και η δεύτερη μιας μη-Γκαουσιανής κατανομής⁽²⁾. Οι αντίστοιχες καταστατικές εξισώσεις στις τρεις διαστάσεις δίνονται. Ο ιξωδοελαστικός χαρακτήρας των πολυμερών περιγράφεται και αναλύεται λεπτομερώς στο κεφάλαιο 4⁽¹¹⁾. Η αρχή υπέρθεσης του Boltzmann και η χρήση μιας γενικής διαφορικής εξίσωσης είναι δύο εναλλακτικοί τρόποι σύνδεσης των τάσεων και των τροπών στη γραμμική ιξωδοελαστικότητα. Στη δεύτερη περίπτωση, εντελώς ισοδύναμα, η περιγραφή της ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς μπορεί να προκύψει μέσω της χρήσης προτύπων δομημένων με ελαστικά ελατήρια και ιξώδεις απορροφητήρες. Από την άλλη, η μη γραμμική ιξωδοελαστικότητα, που παρουσιάζουν συχνά τα πολυμερή, αντιμετωπίζεται κάνοντας χρήση προσεγγιστικών θεωριών μοριακής ρεολογικής ή/και εμπειρικής βάσης όπως: η αναπαράσταση του Schapery⁽³⁴⁾, η εξίσωση των Kohlraush-Williams-Watts⁽⁴¹⁾, η stress-clock function⁽¹³⁸⁾ ή η θεωρία ιξώδους του Eyring⁽³⁵⁺³⁷⁾. Η θερμοκρασία, ο ρυθμός τροπής, η πίεση καθώς και μια σειρά άλλων παραμέτρων επηρεάζουν σημαντικά τη γενικότερη μηχανική συμπεριφορά των πολυμερών και άρα και την πλαστική τους απόκριση⁽⁴⁰⁾. Όμως παρόλο που τα πολυμερή δεν μπορούν να θεωρηθούν ιδανικά πλαστικά υλικά, η συμπεριφορά διαρροής τους μπορεί σε μια πρώτη προσέγγιση, να αντιμετωπισθεί μέσω των θεωριών ιδανικής πλαστικότητας αρκεί οι εν λόγω παράμετροι να διατηρηθούν σταθερές και να επιλεγούν συνθήκες έτσι ώστε να μη συμβεί αδιαβατική θέρμανση. Μέσα από εκτεταμένες σειρές δοκιμών, επιβεβαιώθηκε ότι το τροποποιημένο κριτήριο του von Mises βρίσκει μεγάλη εφαρμογή στην περίπτωση των πολυμερών⁽²⁾. Πολλές φορές και η μη γραμμική ιξωδοελαστικότητα χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της διεργασίας διαρροής στα πολυμερή⁽⁴⁰⁾ πχ μέσω της χρήσης της σχέσης του Schapery και της εξίσωσης KWW για την αναπαράσταση μιας ευρείας κατανομής χρόνων χαλάρωσης. Αντίστοιχα η θεωρία ιξώδους του Eyring μπορεί να επεκταθεί ώστε να δύναται να περιγράφει και τη διεργασία της διαρροής όμως η ασάφεια των παραμέτρων της και η απουσία όρων πλαστικής εξασθένισης είναι κάποια από τα μειονεκτήματα της. Ο Argon πρότεινε⁽⁷⁸′⁷⁹⁾ ότι η διαρροή αντιστοιχεί ουσιαστικά στην υπερνίκηση των ελαστικών αλληλεπιδράσεων μιας μοριακής αλυσίδας και της γειτονίας της έτσι η αντίσταση στην πλαστική παραμόρφωση στο σημείο διαρροής προκύπτει ουσιαστικά από αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μακρομορίων. Η εμφανιζόμενη ανομοιογένεια κατά τη διαρροή είναι ένα ακόμα χαρακτηριστικό των υαλωδών πολυμερών⁽⁵³’⁵⁴⁾. Η ανομοιογενής φύση των διατμητικών παραμορφώσεων κατά τη διαρροή με την εμφάνιση χαρακτηριστικών διατμητικών ζωνών οδήγησε τους Bowden και Raha⁽⁸¹⁾ στην ανάπτυξη ενός μοντέλου θερμικά ενεργοποιούμενου ρυθμού για τη διαρροή στο πολυμερικά γυαλιά χρησιμοποιώντας βασικές αρχές των διαταραχών. Από μια διαφορετική οπτική γωνιά οι G'Sell και Jonas⁽⁸³⁾ χρησιμοποιώντας τη γνωστή έκφραση του Orowan⁽⁸⁴⁾ πέτυχαν μια πιστή αναπαράσταση του διαγράμματος πραγματικών τάσεων-τροπών καθώς και όλων των συνοδευτικών φαινομένων όπως: πλαστική εξασθένιση, μεταβατικά φαινόμενα, φυσική γήρανση, εξασθένιση μετά από κυκλικές φορτίσεις κλπ. (κεφ. 5). Πιο συγκεκριμένα τώρα, στην παρούσα εργασία διερευνήθηκαν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό της συνολικής τρισδιάστατης μηχανικής απόκρισης των υαλωδών πολυμερών. Καταρχήν παρουσιάζεται το μοντέλο των Boyce, Parks και Argon⁽⁸⁷⁾ (που αποτελεί ουσιαστικά εξέλιξη του μοντέλου των Haward-Thackray⁽⁸⁵⁾). Αποτελείται από τρία στοιχεία: ένα γραμμικό ελαστικό ελατήριο σε σειρά με ένα ιξωδοελαστικό απορροφητήρα και ένα μη γραμμικό ελατήριο κράτυνσης με τα δύο τελευταία να δρουν εν παραλλήλω. Υιοθετώντας την ελαστοπλαστική ανάλυση των Lee και Liu⁽⁹²⁾, την απλοποιητική παραδοχή των Fardshisheh και Onat⁽⁹³⁾, όπου όλα τα φαινόμενα στροφής συναθροίζονται στην πλαστική παραμόρφωση και αγνοώντας το πλαστικό σπιν η ανάλυση διευκολύνεται σημαντικά. Στο μοντέλο των ΒΡΑ η σχέση του Argon τροποποιείται ώστε να συμπεριλάβει την εξάρτηση από την πίεση, τη φυσική γήρανση και την περιγραφή του φαινομένου της πλαστικής εξασθένισης. Τέλος η εντροπική αντίσταση, η οφειλόμενη στην σταδιακή ευθυγράμμιση των μοριακών αλυσίδων, προσεγγίζεται κάνοντας χρήση της μη Γκαουσιανής στατιστικής μηχανικής των Wang και Guth⁽¹⁷⁾. Οι G'Sell και Jonas από την άλλη επιχείρησαν την προσομοίωση της συμπεριφοράς της ροής βασιζόμενοι στη δυναμική των πλαστικών κυμάτων και συνεκτιμώντας ότι η τάση ροής είναι αύξουσα συνάρτηση τόσο της τροπής όσο και του ρυθμού της. Σε αντίθεση με το μοντέλο των ΒΡΑ για την περιγραφή της πραγματικής πτώσης διαρροής και όλων των μεταβατικών φαινομένων, έγινε η υπόθεση της ύπαρξης εντοπισμένων μοριακών ασυνεχειών (πλαστικών κυμάτων) γραμμικού χαρακτήρα, που μπορούν να γεννιόνται και να μετακινούνται υπό την επίδραση μιας ενεργούς τάσης. Έτσι ο ρυθμός των πλαστικών τροπών μπορεί να εκφραστεί μέσα από τη σχέση του Orowan σύμφωνα με την οποία ο ρυθμός των πλαστικών τροπών είναι ανάλογος της πυκνότητας των πλαστικών κυμάτων. Τέλος στην ανάλυση του Rubin⁽¹⁰⁶⁾ γίνεται καταρχήν η εισαγωγή μιας κατάλληλης τριάδας διανυσμάτων μέσω των οποίων δύναται να χαρακτηρίζουμε τη διόγκωση, τη στρέβλωση και τον προσανατολισμό του μέσου ατομικού πλέγματος στην τρέχουσα κατάσταση, σε σχέση με την κατάσταση αναφοράς του πλέγματος. Η εν λόγω κινηματική μας εξασφαλίζει τη δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος γνωρίζοντας απλά την αρχική και την τελική κατάσταση και όχι κατ’ ανάγκη την πλήρη πορεία του σώματος (κεφ. 6). Το υλικό αναφοράς ήταν μια εποξειδική ρητίνη χαμηλής σχετικά θερμοκρασίας υαλώδους μετάβασης. Πραγματοποιήθηκαν δοκιμές μοναοξονικού εφελκυσμού και θλίψης σ’ ένα εύρος ρυθμών τροπής. Το συγκεκριμένο υλικό κάτω από τις συνθήκες που καταπονήθηκε παρουσίασε χαρακτηριστική κορυφή διαρροής ακολουθούμενη από πλαστική εξασθένιση ενώ στο τελικό στάδιο εμφάνισε κράτυνση (για την περίπτωση της θλιπτικής φόρτισης). Έτσι για την εξάρτηση του ορίου διαρροής με το ρυθμό τροπής εφαρμόσθηκαν οι σχέσεις του Argon και του Eyring. Ενώ το στάδιο της κράτυνσης προσεγγίσθηκε κατά βάση με τη χρήση του μοντέλου των τριών αλυσίδων των James και Guth⁽¹⁶⁾. Για το αρχικό ιξωδοελασπκό τμήμα εφαρμόσθηκε και διερευνήθηκε η χρήση κατάλληλων προτύπων, όπως το πρότυπο Maxwell, το πρότυπο στερεό (τριπαραμετρικό), τετραπαραμετρικά ανάλογα αλλά και μη γραμμικά ιξωδοελαστικά μοντέλα. Στο πρότυπο των ΒΡΑ η πτώση τάσης προσεγγίσθηκε μέσω της μεταβολής της αθερμικής διατμητικής αντίστασης για την οποία δεχθήκαμε μια προοδευτική ελάττωση συναρτήσει των εμφανιζομένων πλαστικών τροπών. Τέλος, η εξάρτηση της τάσης διαρροής από την πίεση δόθηκε μέσω της εξάρτησης της εν λόγω αθερμικής διατμητικής αντοχής από την πίεση. Στο μοντέλο των G'Sell και Jonas θεωρήθηκε ότι η πυκνότητα των εν δυνάμει πλαστικών θέσεων δεν παραμένει σταθερή αλλά αυξάνει συναρτήσει των τάσεων, γραμμικά σε μια πρώτη προσέγγιση. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε η προσέγγιση των Gilman και Johnston⁽¹⁰⁴⁾ της συνεχούς αυξήσεως της πυκνότητας. Αντίστοιχα στην ανάλυση του Rubin θεωρήσαμε κατ’ αρχήν το ρυθμό των πλαστικών στροφών μηδέν και ακολουθήσαμε τις ίδιες προσεγγίσεις των διαφόρων σταδίων όπως στο μοντέλο των ΒΡΑ. Η εφαρμογή των συγκεκριμένων θεωρήσεων στο εξεταζόμενο πολυμερές έδωσε ενδιαφέροντα αποτελέσματα όχι μόνο για το συγκεκριμένο υλικό αλλά και για τα ίδια τα μοντέλα. Στα επόμενα δύο κεφάλαια τις παρούσας διατριβής πραγματοποιείται η ανάλυση, ελαστική και ελαστοπλασπκή, των συνθέτων υλικών. Στο κεφάλαιο 8 επιχειρήθηκε καταρχήν η ελαστική ανάλυση. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν μέσω της προσέγγισης με πεπερασμένα στοιχεία⁽¹⁶¹⁾ χρησιμοποιήθηκαν ως τιμές αναφοράς για την ανάλυση και το σχολιασμό των πιο διαδεδομένων μοντέλων υπολογισμού του μέτρου Ec των συνθέτων υλικών⁽¹⁵⁷⁾. Καθορίσθηκαν έτσι τα όρια των χαρακτηριστικών μεγεθών του συνθέτου (αναλογία φάσεων, μέτρα ελαστικότητας, λόγοι Poisson) και των σταθερών όπου ισχύουν αυτά. Εκτιμώντας τις αποκλίσεις από την κατάσταση αναφοράς καθίσταται δυνατό να προσδιορισθεί ποιοτικά η συνολική συμπεριφορά ενός συνθέτου και να αποφανθούμε για μια σειρά χαρακτηριστικών του υλικού όπως ο βαθμός αλληλεπίδρασης των κόκκων, οι ατέλειες, τα συσσωματώματα, ο βαθμός πρόσφυσης, η ύπαρξη μεσοφάσης κ.ά. Στη συνέχεια δόθηκε μια εναλλακτική σχέση η οποία ουσιαστικά προέκυψε με βάση τις παρατηρήσεις που είχαν προηγηθεί συμπεριλαμβάνοντας όλα τα κρίσιμα χαρακτηριστικά. Στο τέλος πραγματοποιήθηκε μια συγκριτική αντιπαράθεση των τιμών της ανάλυσης των πεπερασμένων στοιχείων με τα πειραματικά αποτελέσματα που προέκυψαν από συγκεκριμένη περίπτωση συνθέτου υλικού που παρασκευάσθηκε στο εργαστήριο. Η ερμηνεία των εμφανιζομένων αποκλίσεων έδωσε σημαντικές πληροφορίες για τη συμπεριφορά των εν λόγω συνθέτων. Τέλος στο κεφάλαιο 9 γίνεται επέκταση και στα σύνθετα των χρησιμοποιηθέντων ήδη από το κεφ.7 διαδικασιών προσομοίωσης των καθαρών πολυμερικών υλών, αφού όμως πρώτα πραγματοποιήθηκε στη βάση διαδοχικών παρατηρήσεων κατάλληλη τροποποίηση, συμπλήρωση και επέκταση τους. Για το σκοπό αυτό διενεργήθηκαν δοκιμές μονοαξονικού εφελκυσμού και θλίψης στα παρασκευασθέντα στο εργαστήριο σύνθετα υλικά. Για την ανάλυση των οποίων -εύρεση των παραμορφωσιακών και τασικών πεδίων- έγινε χρήση τουεργαλείου των πεπερασμένων στοιχείων⁽¹⁶³⁾. Προσδιορίσθηκαν τα χαρακτηριστικά διαρροής των συνθέτων και επιχειρήθηκε η αναλυτική τους περιγραφή. Αντίστροφα τώρα, με βάση τις αντληθείσες πληροφορίες από την ανάλυση των συνθέτων και την επέκταση των συμπερασμάτων, εξήχθησαν πρωτότυπα στοιχεία για τις ακολουθούμενες συνθήκες, μηχανισμούς και εξέλιξη της διαρροής και στα αμιγώς πολυμερικά υλικά.