Nonlinear waves in bistable flexible elastic metamaterials

Abstract

This dissertation explores the wave dynamics of flexible elastic metamaterials consisting of bistable beams, emphasizing the emergence of nonlinear waves. The work begins with the analytical treatment of a single elastic beam subject to compression, modeled using the Euler–Bernoulli equation with a nonlinear constraint. By adopting an approach based on the buckling modes of the beam, we identify the characteristics of the system for different compression levels and the regime in which one mode is sufficient for describing the beam’s deformation. Within the monomodal approximation, we show that the dynamics of the beam reduce to a Duffing-like oscillator while an array of linearly coupled beams is governed by a variant of a discrete nonlinear Klein-Gordon equation. Building on this model, the existence of spatially localized and periodic in time nonlinear modes (discrete breathers), which can be both standing and moving, is demonstrated. By exploiting the mobility of the nonlinear modes, we show that counterpropagating discrete breathers can nucleate transition waves and, to that aim, their collision properties are analyzed. Extending the study to forced-damped Klein-Gordon lattices, we highlight that discrete breathers can be formed and we relate their existence to the properties of the Duffing oscillator. Through numerical continuation, we stress that discrete breathers can become unstable and that these instabilities can lead to the generation of transition waves. Finally, we investigate the linear wave properties of Klein-Gordon lattices subject to parametric modulation induced by periodically modulating the cutoff frequency. Perturbation theory reveals the unique dispersive properties of the medium, including the occurrence of exceptional points at the crossing of two bands and tunable wavenumber gaps. These features give rise to novel wave propagation phenomena, such as amplitude saturation and beam splitting. Overall, the dissertation establishes the potential of elastic metamaterials for studying wave physics and for controlling wave propagation.

Στην παρούσα διατριβή διερευνώνται οι κυματικές ιδιότητες ελαστικών μεταϋλικών, τα οποία αποτελούνται από δισταθείς εύκαμπτες δοκούς, με έμφαση στη μελέτη μη γραμμικών κυμάτων. Η εργασία ξεκινάει με την αναλυτική περιγραφή μιας μεμονωμένης ελαστικής δοκού υπό συμπίεση, η οποία μοντελοποιείται μέσω της εξίσωσης Euler-Bernoulli παρουσία μιας μη γραμμικής συνθήκης που πρέπει να ικανοποιείται. Αξιοποιώντας τις ιδιοκαταστάσεις της δοκού, προσδιορίζονται τα χαρακτηριστικά του συστήματος για διαφορετικά επίπεδα συμπίεσης και εντοπίζεται η περιοχή παραμέτρων στις οποίες η παραμόρφωση της δοκού περιγράφεται ικανοποιητικά από μία μόνο ιδιοκατάσταση. Λαμβάνοντας υπόψη μόνο μία ιδιοκατάσταση, δείχνεται ότι η δυναμική της δοκού είναι παρόμοια με αυτήν ενός ταλαντωτή Duffing, ενώ συζευγμένες τέτοιες δοκοί περιγράφονται από τη διακριτή μη γραμμική εξίσωση Klein-Gordon. Με βάση αυτό το μοντέλο, δείχνεται η ύπαρξη εντοπισμένων στον χώρο και περιοδικών στον χρόνο μη γραμμικών κυμάτων (discrete breathers), τα οποία μπορεί να είναι είτε στάσιμα είτε διαδιδόμενα. Αξιοποιώντας τη δυνατότητα διάδοσης μη γραμμικών κυμάτων, δείχνεται ότι δύο discrete breathers μπορούν να συγκρουστούν οδηγώντας στον σχηματισμό μεταβατικών κυμάτων και αναλύονται οι ιδιότητες των συγκρούσεών τους. Επεκτείνοντας τη μελέτη σε πλέγματα Klein-Gordon παρουσία απωλειών και περιοδικής στον χρόνο εξωτερικής δύναμης, διαπυστώνεται ότι discrete breathers υποστηρίζονται από τέτοια συστήματα και οι ιδιότητές τους συνδέονται με αυτές του ταλαντωτή Duffing. Μέσω αριθμητικών υπολογισμών δείχνεται ότι οι discrete breathers μπορούν να είναι ασταθείς και ότι, διεγείροντας τις αστάθειές τους, μπορούν να δημιουργηθούν μεταβατικά κύματα. Τέλος, μελετώνται οι γραμμικές κυματικές ιδιότητες πλεγμάτων Klein-Gordon που έχουν τεθεί σε παραμετρική ταλάντωση λόγω της περιοδικής διαμόρφωσης της συχνότητας αποκοπής. Με τη βοήθεια της θεωρίας διαταράχων, αναδεικνύονται οι μοναδικές ιδιότητες του κυματικού μέσου, οι οποίες περιλαμβάνουν την εμφάνιση ιδιαζόντων σημείων στο σημείο διασταύρωσης δύο ζωνών με γραμμική σχέση διασποράς και ελεγχόμενα χάσματα κυματανυσμάτων. Αυτά τα χαρακτηριστικά οδηγούν σε νέα φαινόμενα για την κυματική διάδοση, όπως για παράδειγμα κορεσμό του πλάτους χωρίς μη γραμμικότητα και διαχωρισμό κυματοπακέτων. Συνολικά, η παρούσα διατριβή αναδεικνύει την προοπτική των ελαστικών μεταϋλικών για τη μελέτη της κυματικής φυσικής και τον έλεγχο της κυματικής διάδοσης.