Modeling and simulation of elastoviscoplastic materials

Abstract

In our everyday lives, we encounter groups of materials that do not obey the intuitive principles that we are familiar with based on our experience. One of these groups consists of “weird” fluids that do not flow spontaneously, as water or oil does, but only if we stress them sufficiently. Everybody squeezes the toothpaste from the tube or uses a knife to spread peanut butter evenly over their bread. If we examine these materials carefully, we can identify two distinct kinds of behavior: a solid-like when we do not exert adequate stress and a fluid-like when we exceed the material-specific stress threshold. Thus, the property that differentiates them from common fluids, like water, is this stress threshold called the yield stress. The earlier investigations of yield stress materials suggested that elasticity and plasticity are mutually exclusive behaviors. As a result, two distinct material groups emerged: viscoelastic and viscoplastic. However, excluding elasticity could not explain many experimental observations with yield-stress materials. Moreover, numerous simulations using ideal viscoplastic models cannot capture the experiments. Thus, in this thesis, we instigate the effect of elasticity in modeling yield stress materials. Prior to that, we enhance the Penalized Augmented Lagrangian method, proposed by Dimakopoulos and coworkers, and develop a faster and stabler finite element formulation for the simulation of ideal viscoplastic material. Then, we embark on examining the difference in predictions between viscoplastic and elastoviscoplastic rheological models in two separate processes. In the first, we place a sample material between two coaxial disks, and suddenly, one is set into motion. The material stretches, creating a filament, which eventually thins and breaks because of capillarity. In the second, we place a bubble inside a yield stress fluid and monitor its steady-state shape, velocities, and induced stresses inside the material. We present novel numerical simulations of these processes and obtain good agreement with experiments in both cases when we introduce elasticity in the rheological modeling of yield stress materials. We stress that in the scenarios when elasticity is apparent, the ideal viscoplastic theory fails to give even qualitatively accurate predictions. In this thesis, we do not focus only on yield stress materials. We model the motion of a bubble rising inside a viscoelastic solution without assuming axial symmetry to allow the development of three-dimensional disturbances. This allows us to capture numerically the peculiar knife-edge bubble shape for the first time. The bubble shape does not exhibit axial symmetry anymore. A sharp, two-dimensional, cusp-like tail forms in one view, but it changes and becomes a broad knife or a spade in the perpendicular one. Finally, we propose a new finite element formulation when two materials interact through a moving interface, either fluids or solids. We remedy the interface constraints, namely the continuity of velocities and stresses, using a single-node approach and the same continuous basis functions for the velocities in both materials. We incorporate the XFEM method to overcome the pressure jump across the interface. We assess the robustness of the new FE formulation in numerous 2D and 3D problems and compare our results with those of the literature.

Στην καθημερινή μας ζωή, συναντάμε ομάδες υλικών τα οποία δεν ακολουθούν τις ενστικτώδεις αρχές που μας είναι οικείες και βασισμένες στην εμπειρία μας. Μία από αυτές τις ομάδες αποτελείται από «περίεργα» υλικά τα οποία δεν ρέουν ακαριαία, όπως το νερό και το μέλι, αλλά μόνο όταν τα ωθήσουμε επαρκώς. Όλοι πιέζουν την οδοντόκρεμα από το σωληνάριο ή χρησιμοποιούν μαχαίρι για να αλείψουν το φυστικοβούτυρο ομοιογενώς πάνω στο ψωμί τους. Αν εξετάσουμε αυτά τα υλικά προσεκτικά, μπορούμε να αναγνωρίσουμε δύο διακριτά είδη συμπεριφορών: μία συμπαγής όταν δεν ασκούμε μία επαρκή τάση και μία ρευστή όταν ξεπερνάμε το συγκεκριμένο για κάθε υλικό κατώφλι τάσης. Συνεπώς, η ιδιότητα που τα διαφοροποιεί από τα συνηθισμένα ρευστά, όπως το νερό, είναι το κατώφλι τάσης επονομαζόμενο τάση διαρροής. Οι πρότερες έρευνες για τα υλικά με τάση διαρροής υπέθεταν ότι η ελαστικότητα και η πλαστικότητα είναι αλληλοαποκλειόμενες συμπεριφορές. Σαν αποτέλεσμα, δύο σαφής ομάδες υλικών αναδύθηκαν: τα ιξωδοελαστικά και τα ιξωδοπλαστικά. Όμως, ο αποκλεισμός της ελαστικότητα δεν μπορεί να εξηγήσει πολλές πειραματικές παρατηρήσεις των υλικών με τάση διαρροής. Επιπλέον, πολυάριθμες προσομοιώσεις χρησιμοποιώντας ιδανικά ιξωδοπλαστικά μοντέλα δεν μπορούν να προσεγγίσουν τα πειράματα. Συνεπώς, σε αυτήν την διατριβή, εξετάζουμε την επίδραση της ελαστικότητα στην μοντελοποίηση των υλικών με τάση διαρροής. Πριν από αυτό, βελτιώνουμε την Penalized Augmented Lagrangian μέθοδο, που προτάθηκε από τους Δημακόπουλος και συνεργάτες, και αναπτύσσουμε ένα γρηγορότερο και πιο ευσταθή φορμαλισμό της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την προσομοίωση των ιδανικών ιξωδοπλαστικών υλικών. Στην συνέχεια, ξεκινάμε να ερευνούμε την διαφορά στις προβλέψεις μεταξύ των ιξωδοπλαστικών και ελαστο-ιξωδοπλαστικών ρεολογικών μοντέλων σε δύο διαφορετικές διεργασίες. Στην πρώτη, τοποθετούμε ένα δείγμα υλικού μεταξύ δύο ομοαξονικών πλακών, και ξαφνικά, η μία τίθεται σε κίνηση. Το υλικό εφελκύεται, δημιουργώντας ένα νήμα, το οποίο τελικά λεπταίνει και καταρρέει λόγω τριχοειδών δυνάμεων. Στην δεύτερη διεργασία, τοποθετούμε μία φυσαλίδα μέσα σε ένα υλικό με τάση διαρροής και παρακολουθούμε το σχήμα της σε μόνιμη κατάσταση, το ροϊκό πεδίο και τις προκαλούμενες τάσεις μέσα στο υλικό. Παρουσιάζουμε καινοτόμες υπολογιστικές προσομοιώσεις αυτών των διεργασιών και αποκτούμε καλή σύγκριση με τα πειράματα και στις δύο περιπτώσεις όταν εισάγουμε την ελαστικότητα στην ρεολογική μοντελοποίηση των υλικών με τάση διαρροής. Τονίζουμε ότι στα σενάρια που η ελαστικότητα είναι παρούσα, η ιδανική ιξωδοπλαστική θεωρία αποτυγχάνει να παρέχει ακόμα και ποιοτικά ακριβείς προβλέψεις. Σε αυτή την διατριβή, δεν εστιάζουμε μόνο σε υλικά με τάση διαρροής. Μοντελοποιούμε και την κίνηση μίας φυσαλίδας που ανέρχεται σε ένα ιξωδοελαστικό διάλυμα χωρίς να υποθέτουμε αξονική συμμετρία για να επιτρέψουμε την δημιουργία τρισδιάστατων διαταραχών. Αυτό μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε αριθμητικά το ιδιόμορφο σαν κόψη μαχαιριού σχήμα της φυσαλίδας για πρώτη φορά. Το σχήμα της φυσαλίδας δεν εμφανίζει καμία αξονική συμμετρία πλέον. Μία οξεία, δισδιάστατη, σαν μύτη, ουρά σχηματίζεται στην μία όψη της φυσαλίδας, αλλά αυτή αλλάζει και γίνεται ένα πλατύ μαχαίρι ή φτυάρι στην κάθετη όψη. Στο τέλος, προτείνουμε ένα νέο φορμαλισμό της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων όταν δύο υλικά, είτε ρευστά είτε στερεά, αλληλοεπιδρούν μέσω μίας κινούμενης διεπιφάνειας. Αντιμετωπίζουμε τους περιορισμούς της διεπιφάνειας, ειδικότερα την συνέχεια των ταχυτήτων και των τάσεων, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του μονού κόμβου και τις ίδιες, συνεχείς συναρτήσεις βάσης για τις ταχύτητες των δύο υλικών. Συμπεριλαμβάνουμε την μέθοδο XFEM για να ξεπεράσουμε το άλμα της πίεσης εγκάρσια της επιφάνειας. Αξιολογούμε την ευρωστία του νέου φορμαλισμού των πεπερασμένων στοιχείων σε πολυάριθμα δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα και συγκρίνουμε τα αποτελέσματά μας με αυτά τις βιβλιογραφίας.