Constitutive modeling of the monotonic and cyclic response of granular soils with applications in seismic liquefaction

Abstract

The accuracy of numerical analyses of boundary value problems (BVPs) in GeotechnicalEngineering depends significantly on the reliability and the proper calibration of theemployed constitutive model, depending on the soil type and the loading conditions. Forgranular soils (like sands and gravels), different constitutive models and/or differentcalibrations of the same model are usually adopted, depending on the loading conditions(e.g., monotonic vs. cyclic, under drained vs. undrained conditions, short and intenseseismic excitation vs. sustained cyclic loading of many cycles of small to mediumintensity). Historically, given its complexity, the simulation of cyclic response of granularsoils has attracted great interest in the literature, with a multitude of publications presentingrelevant constitutive models. Very often, however, publications that present relevantmodels exhibit accurate numerical simulation of the monotonic response and include onlya few, hand-picked, cyclic tests with emphasis on liquefaction. Such a validation procedurecan hardly be considered sufficient for cyclic loading, in general. On the contrary, modelvalidation should cover the whole range of cyclic response in each discrete strain regime.Namely, the validation process should focus distinctly on: a) small strains, where the soilresponse is “quasi-elastic” and the use of the true elastic parameters (e.g., measured fromfield tests) is crucial for an accurate simulation, b) medium strains, where the response isnon-linear hysteretic and accumulation of strains with the number of applied cycles isobserved and, finally, on c) large strains, where of importance are the deformations due toliquefaction and the post-liquefaction strain accumulation. Hence, despite the plethora ofvery remarkable specialized constitutive models in published literature, there are very fewpublications that present model validations against the whole foregoing strain range.Concurrently, it has been observed that some of the models that have exhibited asatisfactory performance for cyclic loading may not be as accurate when it comes tomonotonic loading, or need to be recalibrated for that type of loading. Based on the above,there is a need for a constitutive model for granular soils, which will be able to captureaccurately both the monotonic response (until the critical state) and the cyclic response (forany shear strain level) with a single set of soil - specific parameters for any relative densityand stress level. This is the main purpose of the constitutive model developed in the contextof this Thesis.The new elasto-plastic constitutive model is based on Critical State Theory, itbelongs to the family of SANISAND bounding surface models and it inherits concepts fromthe NTUA-SAND model, albeit modified. Its basic characteristic is the use of the last loadreversal point to define both the elastic and the plastic strain rates. Special attention is givento the proper definition of the last load reversal point, so as to mitigate stress-strainovershooting. The model incorporates a macroscopic cumulative fabric function scaling theplastic modulus and targeting an accurate rate of strain accumulation with loading cycles.Post-liquefaction strains are also in focus with an appropriate modification of the dilatancyfunction. The constitutive model has a total of 14 parameters requiring calibration, 12 ofwhich target the monotonic response and should be calibrated first, i.e., before theremaining 2 that refer solely to cyclic loading. Of these 14 parameters, 9 are calibrated firstand directly on the basis of experimental data, while the remaining 5 parameters (3 formonotonic and 2 for cyclic loading) require trial-and-error runs.The constitutive equations are developed at element level and the calibration ofmodel parameters is presented for five (5) sands from the literature (Nevada, Toyoura,Ottawa - F65, M31 and Monterey) and two (2) gravels. As a whole, the selected soils forcalibration purposes cover a range of mean diameter of grains (D50) from 0.1 to 9 mm. Thevalidation includes comparisons to element test data for different types of loading anddrainage conditions, corresponding to a very large range of initial conditions (whole rangeof relative density Dr = 2 – 90% and initial mean effective stress po = 33.33 - 2000 kPa).When experimental data for a specific soil are lacking, empirical relationships from theliterature are employed. This thorough investigation focuses on all levels of induced cyclicdeformations on the basis of the rationale discussed above, but also satisfies therequirement for a unique set of soil-specific model parameters, regardless of the loadingconditions. The validation process proves that the proposed constitutive model is, bydesign, a general-purpose model that provides satisfactory accuracy without a need forrecalibration regardless of whether the problem is static, cyclic or dynamic, at least whenit comes to sands. When it comes to gravels, the de-activation of fabric-related functions(via simply nullifying the respective Νο model parameter) in monotonic simulations provessufficient, without changing any other model parameter.For its possible use in the numerical analyses of BVPs, the new constitutive model isimplemented in finite difference numerical codes FLAC and FLAC3D. These codes can beused in fully-coupled nonlinear numerical analyses of both static and dynamic boundaryvalue problems of geostructures. The constitutive equations are initially written in C++programming language, and then are implemented into the numerical codes as a UserDefined Model (UDM) routine. For the implementation, a second order Euler integrationscheme with automatic error control and a sub-stepping technique are adopted.At the final stage of the Thesis, the ability of the calibrated constitutive model tosimulate sand response at system level is evaluated. For this purpose and due to theircomplexity, dynamic BVPs including liquefaction are selected. The validation is performedagainst experimental results from nine (9) dynamic centrifuge tests on Nevada sand,grouped in four (4) different categories:(a) the seismic response of a horizontal liquefiable sand layer,(b) the lateral spreading of a mildly sloping liquefiable sand layer,(c) the seismic response of shallow foundation systems in liquefiable sand profiles withdifferent stratigraphies subjected to different seismic excitations,(d) the seismic response of a pile group subjected to the lateral spreading of a mildlysloping liquefiable sand layer.Categories (a), (b) and (c) are analyzed in the two-dimensional (2D) space usingnumerical code FLAC, while category (d) is analyzed in the three-dimensional (3D) spaceusing numerical code FLAC3D. Since the employed liquefiable sand is the same in all theabove centrifuge tests (Nevada sand in different relative densities, Dr = 40 – 85%), thefollowing additional modeling approaches are adopted: (i) a common calibration of theconstitutive model, based on laboratory test results at element level and (ii) a commonanalysis methodology (in terms of adopted permeability coefficient, numerical damping,etc.). In this way, the comparison of simulations to data reflects purely the satisfactoryability of the model to simulate the response of a specific sand material, regardless of theproblem at hand and without any need for recalibration.Finally, some of the aforementioned BVPs are studied parametrically in order toevaluate the sensitivity of the numerical results to the use of two (2) of the novel constitutiveingredients. The focus is on the adopted methodology for the mitigation of stress-strainovershooting and on the incorporated factor affecting the dilatancy coefficient targetingpost-liquefaction shear strain accumulation. The results of the sensitivity analysesunderline that these constitutive features are useful, but possibly not crucial for accuracy,at least for the examined BVPs.

Η ακρίβεια των αριθμητικών αναλύσεων προβλημάτων συνοριακών τιμών που αφορούνσε έργα Γεωτεχνικού Μηχανικού βασίζονται σημαντικά στην αξιοπιστία και στη σωστήβαθμονόμηση του κατάλληλου καταστατικού προσομοιώματος, ανάλογα με το γεωυλικόκαι τον τύπο φόρτισης κάθε περίπτωσης. Για κοκκώδη εδάφη (όπως οι άμμοι και οιχάλικες) αποτελεί κοινή πρακτική η στοχευμένη χρήση διαφορετικών καταστατικώνπροσομοιωμάτων ή/και διαφορετικών βαθμονομήσεων του ίδιου προσομοιώματος,ανάλογα με τον εξεταζόμενο τύπο φόρτισης (π.χ. μονοτονική ή ανακυκλική, υπόστραγγιζόμενες ή αστράγγιστες συνθήκες, σύντομη και έντονη σεισμική διέγερση ή ήπιαανακυκλική φόρτιση πολλών κύκλων) ή/και ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες (π.χ. σχετικήπυκνότητα, επίπεδο τάσεων). Ειδικότερα, η προσομοίωση της ανακυκλικής φόρτισηςκοκκωδών εδαφών, δεδομένης της πολυπλοκότητάς της, έχει προσελκύσει διαχρονικάμεγάλο ενδιαφέρον στη διεθνή βιβλιογραφία, με πληθώρα δημοσιεύσεων να αφορούν σεσχετικά καταστατικά προσομοιώματα. Ωστόσο, πολύ συχνά, οι σχετικές δημοσιεύσειςπροσομοιωμάτων εμπεριέχουν επαρκείς συγκρίσεις με πειραματικά δεδομένα για τηνπροσομοίωση της μονοτονικής συμπεριφοράς, ταυτόχρονα με συγκριτικά λίγες,προσεκτικά επιλεγμένες, ανακυκλικές δοκιμές με έμφαση στη ρευστοποίηση. Όμως, σεεπίπεδο ανακυκλικής φόρτισης, μια τέτοια διακρίβωση αξιοπιστίας δεν μπορεί ναθεωρείται επαρκής. Αντίθετα, για να θεωρηθεί επαρκής, θα πρέπει να καλύπτει ένα ευρύφάσμα απόκρισης για όλες τις περιοχές παραμορφώσεων, ήτοι: α) μικρές παραμορφώσεις,όπου κυριαρχεί η οιονεί ελαστική απόκριση και έχει εξέχουσα σημασία η βαθμονόμησημε τις πραγματικές ελαστικές παραμέτρους (π.χ., από γεωφυσικές δοκιμές στο πεδίο), β)μεσαίες παραμορφώσεις, όπου η συμπεριφορά είναι μη-γραμμική υστερητική καιπαρατηρείται συσσώρευση παραμενουσών παραμορφώσεων με τον αριθμό τωνεπιβαλλόμενων κύκλων φόρτισης, και γ) μεγάλες παραμορφώσεις, με έμφαση στιςπαραμορφώσεις που εκδηλώνονται κατά τη ρευστοποίηση, καθώς και στη συσσώρευσηπαραμορφώσεων μετά την εκδήλωση αυτής. Έτσι, παρόλο που στη βιβλιογραφία υπάρχειπληθώρα πολύ αξιόλογων εξειδικευμένων καταστατικών προσομοιωμάτων, υπάρχουνελάχιστες δημοσιεύσεις που να παρουσιάζουν λεπτομερή διακρίβωση της αξιοπιστίας τουςσε όλο το φάσμα ανακυκλικής απόκρισης, σύμφωνα με την ανωτέρω συλλογιστική.Παράλληλα, έχει παρατηρηθεί πως αρκετά από τα προσομοιώματα που επιδεικνύουνακριβή συμπεριφορά κατά την ανακυκλική φόρτιση δεν είναι εξίσου ακριβή κατά τημονοτονική φόρτιση, ή χρειάζονται αναβαθμονόμηση για τον σκοπό αυτό. Σύμφωνα με ταπαραπάνω, αναδύεται η ανάγκη για ένα καταστατικό προσομοίωμα για κοκκώδη εδάφη,το οποίο θα είναι ικανό να προσομοιώνει τόσο τη μονοτονική συμπεριφορά (μέχρι τηνΚρίσιμη Κατάσταση), όσο και την ανακυκλική συμπεριφορά (για οποιοδήποτε επίπεδοπαραμόρφωσης) με ενιαία και μοναδική βαθμονόμηση των παραμέτρων του ανά γεωυλικό,ανεξάρτητα από τη σχετική πυκνότητα και το επίπεδο τάσης, και κυρίως ανεξάρτητα απότον τύπο φόρτισης. Αυτός είναι και ο στόχος του προσομοιώματος που αναπτύχθηκε στοπλαίσιο της παρούσας Διατριβής.Συγκεκριμένα, καταστρώνεται ένα νέο ελαστο-πλαστικό προσομοίωμα το οποίοβασίζεται στη Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης, ανήκει στην οικογένεια τωνπροσομοιωμάτων οριακής επιφάνειας SANISAND και δανείζεται στοιχεία τόσο από αυτά,όσο και από το προσομοίωμα NTUA-SAND (Andrianopoulos et al. 2010), μετά απόκατάλληλες τροποποιήσεις. Βασικό χαρακτηριστικό του είναι η χρήση της τελευταίαςαντιστροφής φόρτισης για τον ορισμό τόσο των ελαστικών όσο και των πλαστικώνπαραμορφώσεων. Η έμφαση δίνεται στον ορθό ορισμό του σημείου αντιστροφής φόρτισηςώστε να μην υπερακοντίζεται η σχέση τάσης-παραμόρφωσης. Χρησιμοποιεί μιασυνάρτηση επίδρασης της δομής που ποσοτικοποιεί το πλαστικό μέτρο κράτυνσης μεστόχο τον ορθό ρυθμό συσσώρευσης παραμενουσών παραμορφώσεων και μια συνάρτησηπου ποσοτικοποιεί τον συντελεστή διαστολικότητας με στόχο την ορθή απόκριση μετά τηναρχική ρευστοποίηση. Το προσομοίωμα έχει συνολικά 14 παραμέτρους, 12 από τις οποίεςβαθμονομούνται πρώτα και αφορούν στη μονοτονική φόρτιση και στο τέλοςβαθμονομούνται ακόμη 2 που αφορούν στην ανακυκλική φόρτιση. Από τις παραμέτρουςαυτές, 9 βαθμονομούνται άμεσα επί τη βάση πειραματικών αποτελεσμάτων και μετάβαθμονομούνται οι υπόλοιπες 5 (3 για μονοτονική και 2 για ανακυκλική φόρτιση) μέσωεπαναληπτικής διαδικασίας.Η κατάστρωση έγινε σε επίπεδο μοναδιαίου στοιχείου και παρουσιάζεταιβαθμονόμηση για πέντε (5) άμμους της βιβλιογραφίας (Nevada, Toyoura, Ottawa, Μ31,Monterey), αλλά και δύο (2) χάλικες, που ως σύνολο καλύπτουν ένα εύρος τιμών μέσηςδιαμέτρου κόκκων D50 από 0.1 έως 9 mm. Έγιναν συγκρίσεις με πειραματικά δεδομέναμε τεράστιο εύρος αρχικών συνθηκών και τύπων φόρτισης (συνολικό εύρος σχετικήςπυκνότητας Dr = 2 – 90% και αρχικής μέσης ενεργού τάσης po = 33.33 – 2000 kPa). Ότανδεν υπάρχουν διαθέσιμα εξειδικευμένα πειραματικά αποτελέσματα για κάποιο γεωυλικό,χρησιμοποιούνται εμπειρικές σχέσεις από τη βιβλιογραφία. Μέσω της ενδελεχούς αυτήςδιερεύνησης καλύπτεται όλο το εύρος των ανακυκλικών παραμορφώσεων, όπωςσυζητήθηκε ανωτέρω, αλλά και η μονοτονική φόρτιση, με ενιαίο σετ παραμέτρων ανάκοκκώδες έδαφος, τουλάχιστον όσον αφορά στις άμμους. Από την άλλη, όσον αφοράστους χάλικες, η απενεργοποίηση της λειτουργίας των συναρτήσεων συσσώρευσης τηςδομής κατά τη μονοτονική φόρτιση (θέτοντας την παράμετρο Νο = 0) αποδεικνύεταιεπαρκής ώστε να μην απαιτείται περαιτέρω τροποποίηση της βαθμονόμησης. Ηδιερεύνηση αυτή αποτυπώνει ότι το προτεινόμενο καταστατικό προσομοίωμα για κοκκώδηεδάφη είναι, με βάση το σχεδιασμό του, ένα προσομοίωμα γενικής χρήσης, το οποίοπαρέχει στο χρήστη τη δυνατότητα για μία ικανοποιητική προσομοίωση, χωρίς νααπαιτείται αναβαθμονόμηση για το ίδιο γεωυλικό, ανεξάρτητα από το αν το εξεταζόμενοπρόβλημα είναι στατικό, δυναμικό ή ανακυκλικό.Προκειμένου να καταστεί δυνατή η χρήση του σε προβλήματα συνοριακών τιμών,το νέο προσομοίωμα ενσωματώνεται στους κώδικες πεπερασμένων διαφορών FLAC καιFLAC3D για αναλύσεις σε 2 και 3 διαστάσεις, αντίστοιχα. Οι κώδικες αυτοί μπορούν ναχρησιμοποιηθούν σε πλήρως-συζευγμένες μη-γραμμικές στατικές και δυναμικέςαναλύσεις ρεαλιστικών προβλημάτων από το μελετητή μηχανικό. Αρχικά, οι εξισώσεις τουπροσομοιώματος προγραμματίζονται σε γλώσσα C++ και στη συνέχεια ενσωματώνονταιστο λογισμικό ως υπό-ρουτίνα χρήστη (User-Defined-Model routine). Η ενσωμάτωσηυλοποιείται με χρήση εμπρός-τασικής ολοκλήρωσης Euler με αυτόματο έλεγχο λάθους, ηοποία έχει αποδειχθεί αξιόπιστη για προβλήματα δυναμικής φόρτισης εδαφών σε καθεστώςρευστοποίησης.Στο τελευταίο στάδιο της διατριβής αξιολογείται εκτενώς η ικανότητα τουβαθμονομημένου προσομοιώματος να προβλέψει την απόκριση του εδάφους σε επίπεδοπροβλημάτων συνοριακών τιμών μεγάλης κλίμακας. Για τον σκοπό αυτό, λόγω τηςπολυπλοκότητάς τους, επιλέχθηκαν προβλήματα δυναμικής φόρτισης με εκδήλωσηρευστοποίησης. Για τη διακρίβωση του προσομοιώματος γίνεται χρήση αποτελεσμάτωνπειραματικών δοκιμών φυγοκεντριστή της βιβλιογραφίας σε άμμο Nevada. Συνολικά,έγινε προσομοίωση εννιά (9) προβλημάτων που εντάσσονται σε τέσσερις (4) διαφορετικέςκατηγορίες:(α) σεισμική απόκριση οριζόντιας ρευστοποιήσιμης εδαφικής στρώσης,(β) πλευρική εξάπλωση ελαφρώς κεκλιμένης ρευστοποιήσιμης εδαφικής στρώσης,(γ) σεισμική απόκριση συστήματος αβαθούς θεμελίου - ρευστοποιήσιμου εδάφους μεδιαφορετικές στρωματογραφίες και υπό διαφορετικές διεγέρσεις,(δ) σεισμική απόκριση ομάδας πασσάλων υπό πλευρική εξάπλωση ελαφρώςκεκλιμένης ρευστοποιήσιμης εδαφικής στρώσης.Τα προβλήματα (α), (β) και (γ) διερευνήθηκαν στο διδιάστατο χώρο (2Δ) με χρήσητου λογισμικού FLAC, ενώ το (δ) στον τριδιάστατο χώρο (3Δ) με χρήση του FLAC3D.Καθώς το ρευστοποιήσιμο αμμώδες έδαφος είναι κοινό και στις εννιά (9) δοκιμέςφυγοκεντριστή (άμμος Nevada διαφορετικών τιμών σχετικής πυκνότητας Dr = 40 – 85%),υιοθετήθηκε επιπλέον: (i) κοινή βαθμονόμηση του προσομοιώματος (βασισμένη σεεργαστηριακές δοκιμές σε επίπεδο μοναδιαίου στοιχείου) και (ii) κοινή αριθμητικήμεθοδολογία ανάλυσης (σε όρους συντελεστή διαπερατότητας, αριθμητικής απόσβεσηςκ.α.). Έτσι, αποτυπώνεται αμιγώς η ικανότητα του προσομοιώματος να προβλέπειαποτελεσματικά την απόκριση του ίδιου εδάφους, ανεξάρτητα από το εξεταζόμενοπρόβλημα, χωρίς η αποτύπωση αυτή να επηρεάζεται από την αριθμητική μεθοδολογίαανάλυσης. Η αξιολόγηση αυτή δείχνει ικανοποιητική προσομοίωση, χωρίς ανάγκηαναβαθμονόμησης για το ίδιο κοκκώδες έδαφος, ανεξάρτητα από το εξεταζόμενοπρόβλημα συνοριακών τιμών.Τέλος, εκτελέστηκαν παραμετρικές αναλύσεις κάποιων εξ αυτών των προβλημάτωνσυνοριακών τιμών με στόχο την αποτύπωση της ευαισθησίας των αποτελεσμάτων τηςπροσομοίωσης σε δύο (2) από τα πρωτότυπα χαρακτηριστικά του προσομοιώματος, ήτοιτη μεθοδολογία ορθού ορισμού του σημείου αντιστροφής φόρτισης (ώστε να μην«υπερακοντίζεται» η σχέση τάσης-παραμόρφωσης) και τη συνάρτηση που μεταβάλλει τοσυντελεστή διαστολικότητας με στόχο την ορθή απόκριση μετά την αρχική ρευστοποίηση.Οι αναλύσεις αυτές υπογραμμίζουν ότι τα εν λόγω καταστατικά χαρακτηριστικά είναιχρήσιμα, μα δεν μπορούν να θεωρηθούν κρίσιμα, τουλάχιστον για τα εξετασμέναπροβλήματα συνοριακών τιμών.