A contribution to the theoretical study and numerical calculation of edge diffraction

Abstract

The subject of the present thesis is the sound field around solid obstacles and specifically, the diffraction field generated as sound reaches the edges of the obstacles. Consider, for example, the edge of a half-plane or of a wedge. Diffraction is important in many practical problems, such as noise barriers, sonic boom propagation around buildings, room acoustics, volcanic explosions or ancient theater acoustics. The present work aims to derive new analytical solutions and/or to extend existing models in both time and frequency domain. The purpose of the work is to provide new physical insight in the study of diffraction and to accelerate its computation. The analysis begins in the frequency domain, where an existing analytical model, the Directive Line Source Model (DLSM), is extended in areas where it was not valid before. The new model has a unified form for all types of incident radiation, being exact for plane incident waves and approximate for cylindrical and spherical incident waves. It is shown that the diffraction field can be interpreted as radiation from a directional line source (as stipulated by the original DLSM) irrespective of the receiver proximity to a shadow boundary, provided that the directivity of the virtual line source is appropriately modified. The properties of the new directivity function are investigated, its parameters recast and appropriate simpler asymptotic forms presented. Based on the new directivity function a new, precisely defined separation of the diffraction field around the shadow boundaries is proposed, which also provides a computational advantage for large scale simulations. Further, the proposed reformulation of the diffraction solution and of its parameters enables the application of the model to two cases of practical interest: (i) directional sound sources and (ii) diffraction by wedges, where the proposed formulation is considerably faster to compute than well-established solutions. In time domain a new solution in the form of impulse response is also derived as the Fourier transform of the proposed frequency domain solution. The proposed impulse response, as its frequency counterpart, has a unified form for all types of incident signals, is exact for plane incident signals, and approximate for cylindrical and spherical incident signals. The investigation of the derived formulation leads to the derivation of a generator curve that embodies the impulse response at any source–receiver configuration. The generator curve is function of a single variable, namely the diffraction number. The diffraction number is a universal diffraction parameter, which translates the generator curve into impulse response at all times and all source-receiver locations, according to a condition termed the similarity condition. The employment of the generator curve can provide considerable computational benefit compared to direct computations. A separation of the diffracted signal into precisely determined time stages is also proposed. Further, for the case of the spherical incident signal the concept of the generator curve is also extended for the case of the exact solution. The exact solution is embodied in the same generator curve as the approximate solution but with a different diffraction number and similarity condition. A separation of the diffracted signal based on the exact impulse response is also proposed. The work continues in the time domain with the study of the convolution between the impulse response and the incident signal, which is used to obtain the diffracted signal or diffraction response. The primitive functions of the proposed impulse response are employed to: (i) prove that the convolution of the impulse response with any bounded signal is bounded for all times, (ii) obtain analytically the diffraction response, as combination of elementary functions, for any incident signal approximated piecewise by fitting polynomials, (iii) improve the performance of the numerical convolution by orders of magnitude, and (iv) handle the convolution of very sparsely sampled incident signals. The analysis also handles the diffraction of spherical signals incident on edges of finite length. Existing finite length diffraction theory and the proposed impulse response for the infinite edge are combined to form a new impulse response for the finite edge. The new impulse response has a simple analytical form and as opposed to other analytical solutions does not require integration along the edge length to compute the diffracted signal. Because it is based on the impulse response for infinite edges, it inherits all afore mentioned benefits associated with its primitive functions. Furthermore, it offers substantial computational benefit compared to traditional integration formulas along the edge. In the frequency domain the Fourier transform of the new finite length impulse response can be approximated analytically. The resulting frequency formula does not require integration along the edge and offers physical insight on exactly how much different portions of the edge contribute to the total diffraction field.

Θέμα αυτής της διατριβής είναι η μελέτη του ακουστικού πεδίου γύρω από στερεά σώματα και συγκεκριμένα του πεδίου περίθλασης που δημιουργείται όταν ο ήχος συναντά τις ακμές των σωμάτων. Ως παράδειγμα αναφέρονται οι ακμές τύπου ημι-επιπέδου και οι ακμές τύπου σφήνας. Η περίθλαση είναι σημαντική σε πολλές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, όπως στα ηχοπετάσματα, στη διάδοση υπερηχητικών κρότων γύρω από κτήρια, στην ακουστική κλειστών χώρων, στις ηφαιστειακές εκρήξεις και στην ακουστική αρχαίων θεάτρων. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η δημιουργία νέων αναλυτικών λύσεων και/ή η βελτίωση υπαρχουσών λύσεων τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Ακόμα στόχος της παρούσας εργασίας είναι να παρέχει νέα φυσική ερμηνεία στη μελέτη της περίθλασης αλλά και να μικρύνει το υπολογιστικό της κόστος. Η ανάλυση ξεκινάει στο πεδίο των συχνοτήτων από μία υπάρχουσα αναλυτική λύση, το μοντέλο γραμμικής κατευθυντικής πηγής (ΜΓΚΠ), η οποία επεκτείνεται σε περιοχές όπου δεν ήταν έγκυρη. Η νέα λύση έχει μια ενοποιημένη μορφή για όλους τους τύπους προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Επίσης, η νέα λύση είναι ακριβής για επίπεδα κύματα και προσεγγιστική για κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα. Η συνάρτηση κατευθυντικότητας της νέας λύσης έχει τροποποιηθεί κατάλληλα, ώστε το πεδίο περίθλασης μπορεί να ερμηνευτεί ως ακτινοβολία από μια γραμμική κατευθυντική πηγή (όπως ορίζεται από το υπάρχον ΜΓΚΠ) ανεξάρτητα πόσο κοντά είναι ένας δέκτης στο σύνορο σκιάς. Στην παρούσα μελέτη οι ιδιότητες της νέας συνάρτησης κατευθυντικότητας διερευνώνται, οι παραμέτροι της αναδιαμορφώνονται και παρουσιάζονται απλούστερες ασυμπτωτικές μορφές της. Με βάση τη νέα συνάρτηση κατευθυντικότητας προτείνεται ένας νέος, ακριβής διαχωρισμός του πεδίου περίθλασης γύρω από τα σύνορα σκιάς, ο οποίος παρέχει επίσης υπολογιστικό πλεονέκτημα, σε σύγκριση με υπάρχουσες λύσεις, για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας. Ακόμα, η προτεινόμενη τροποποιημένη συνάρτηση κατευθυντικότητας επιτρέπει την εφαρμογή της νέας λύσης σε δύο περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος: (i) κατευθυντικές πηγές ήχου και (ii) περίθλαση γύρω από σφήνες, όπου η προτεινόμενη λύση είναι σημαντικά ταχύτερη για τον υπολογισμό σε σύγκριση με καθιερωμένες λύσεις. Στο πεδίο του χρόνου παρουσιάζεται μια καινούργια λύση με τη μορφή κρουστικής απόκρισης. Η νέα λύση προκύπτει από την εύρεση του αναλυτικού μετασχηματισμού Fourier της προτεινόμενης λύσης στο πεδίο των συχνοτήτων. Η νέα λύση έχει μια ενοποιημένη μορφή για όλους τους τύπους προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Είναι ακριβής για επίπεδα σήματα και προσεγγιστική για κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα σήματα. Η έρευνα πάνω στη νέα λύση στο πεδίο του χρόνου έχει οδηγήσει στη δημιουργία μιας γενέτειρας καμπύλης η οποία περιέχει και μπορεί να αναπαράγει την κρουστική απόκριση για όλους τους συνδυασμούς θέσεων πηγής-δέκτη και για κάθε τύπο προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η γενέτειρα καμπύλη είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής, του αριθμού περίθλασης. Ο αριθμός περίθλασης είναι μια καθολική παράμετρος για την περίθλαση, η οποία μεταφράζει την γενέτειρα καμπύλη σε κρουστική απόκριση για όλους τους χρόνους, όλους τους συνδυασμούς πηγής-δέκτη και για κάθε τύπο προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται μαθηματικά από μια εξίσωση, τη συνθήκη ομοιότητας. Η χρήση της γενέτειρας καμπύλης μπορεί να προσφέρει αξιόλογο υπολογιστικό όφελος σε σύγκριση με τον άμεσο υπολογισμό της κρουστικής απόκρισης. Προτείνεται επίσης ένας ακριβής διαχωρισμός του περιθλώμενου σήματος σε χρονικά στάδια όπου το σήμα εμφανίζει συγκεκριμένα φυσικά χαρακτηριστικά. Ακόμα, για την περίπτωση του σφαιρικού σήματος η ιδέα της γενέτειρας καμπύλης επεκτείνεται και για την περίπτωση της ακριβούς λύσης. Η ακριβής λύση ενσωματώνεται στην ίδια γενέτειρα καμπύλη την προτεινόμενη κατά προσέγγιση λύση αλλά με διαφορετικό αριθμό περίθλασης και διαφορετική συνθήκη ομοιότητας. Προτείνεται επίσης ένας ακριβής διαχωρισμός του περιθλώμενου σήματος σε στάδια με βάση την ακριβή κρουστική απόκριση. Η παρούσα διατριβή συνεχίζεται στο πεδίο χρόνου με τη μελέτη της συνέλιξης μεταξύ της κρουστική απόκρισης και του προσπίπτοντος σήματος, που χρησιμοποιείται για να τον υπολογισμό του περιθλώμενου παλμού ή της απόκρισης περίθλασης. Οι αρχικές συναρτήσεις της προτεινόμενης κρουστικής απόκρισης χρησιμοποιούνται για: (i) να αποδειχθεί ότι η συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης με οποιοδήποτε φραγμένο σήμα είναι επίσης φραγμένη για όλες τις χρονικές στιγμές, (ii) την αναλυτική εύρεση της απόκρισης περίθλασης, ως συνδυασμό αρχικών συναρτήσεων της κρουστικής απόκρισης, (iii) να βελτιώσει την υπολογιστική απόδοση της αριθμητικής συνέλιξης κατά τάξεις μεγέθους και (iv) να χειριστεί την συνέλιξη σημάτων πολύ αραιής δειγματοληψίας προσπίπτοντος σήματος. Η ανάλυση συνεχίζεται με την περίθλαση σφαιρικών σημάτων που προσπίπτουν σε ακμές πεπερασμένου μήκους. Η υπάρχουσα θεωρία περίθλασης για ακμές πεπερασμένου μήκους και η προτεινόμενη κρουστική απόκριση για τις άπειρες ακμές συνδυάζονται για να σχηματίσουν μια νέα κρουστική απόκριση για πεπερασμένες ακμές. Η νέα κρουστική απόκριση έχει μια απλή αναλυτική μορφή και σε αντίθεση με άλλες αναλυτικές λύσεις δεν απαιτεί ολοκλήρωση κατά το φυσικό μήκος της ακμής για να υπολογίσει το περιθλώμενο σήμα. Επειδή βασίζεται στην κρουστική απόκριση για άπειρες άκρες, η νέα λύση για πεπερασμένες ακμές κληρονομεί όλα τα προαναφερθέντα πλεονεκτήματα που σχετίζονται με τις αρχικές της συναρτήσεις. Επιπλέον, προσφέρει σημαντικό υπολογιστικό όφελος σε σύγκριση με παραδοσιακές λύσεις που είναι ολοκληρωτικές εκφράσεις κατά το φυσικό μήκος της ακμής. Στο πεδίο των συχνοτήτων ο μετασχηματισμός Fourier της νέας κρουστικής απόκρισης για ακμές πεπερασμένου μήκους μπορεί να προσεγγιστεί αναλυτικά. Η έκφραση που προκύπτει στο πεδίο των συχνοτήτων δεν απαιτεί ολοκλήρωση κατά μήκος της ακμής και επιπλέον προσφέρει μια φυσική ερμηνεία για το πώς διαφορετικά τμήματα της ακμής συμβάλλουν στο συνολικό πεδίο περίθλασης.