Linear and non-linear elastic stability of beams by higher order beam theories

Abstract

In this doctoral dissertation the linear and non-linear elastic stability of beams is investigated by means of higher order beam theories. In order to do so, the first step of this doctoral dissertation is the examination of flexural-torsional buckling of composite beams taking into account warping (out-of-plane deformation) and shear lag (alteration of engineering normal stress distribution) effects due to both flexure and torsion. In the second step of this doctoral dissertation, the problem of linear static analysis of homogeneous beams is formulated taking into account axial warping and distortional (in-plane deformation) phenomena in addition to flexural and torsional ones by means of the adopted sequential equilibrium scheme (advantages over eigenvalue solutions). A major part of the second step is the establishment, the initialization, and the solution of the boundary value problems concerning the evaluation of axial warping and distortional modes by means of the sequential equilibrium scheme. In the penultimate step of this doctoral dissertation, the previously developed axial warping and distortional modes along with the respective flexural and torsional ones are utilized towards the formulation and the solution of the linear elastic stability problem of beams. Finally, in the last step of this doctoral dissertation, non-linear analysis is conducted taking into account warping and distortional phenomena due to axial, shear, flexural, and torsional behavior and is compared to the respective results extracted in case where only warping and shear lag effects due to both flexure and torsion are included. It is worth noting that in all the above cases, the beam cross-section is arbitrary while Poisson’s ratio has been taken into account in the axial, flexural, and torsional warping and distortional modes. In the present doctoral dissertation two numerical methods are employed. The first one is the boundary element method which is utilized for the solution of the boundary value problems regarding the evaluation of axial, flexural, and torsional warping and distortional modes and the evaluation of the geometric constants. The second one is the finite element method which is used for the discretization and the solution of the global equilibrium equations of the beam. On the basis of the analytical and numerical procedures presented in the present dissertation, computer programs have been written in FORTRAN 90/95 and representative examples have been studied. In addition, MATLAB scripts have been developed towards the interpretation of the results by means of two- and three-dimensional beam diagrams. The accuracy and reliability of the proposed methods are confirmed through numerical examples drawn from literature as well as results obtained from solid and shell finite element analyses.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή διερευνάται η γραμμική και μη γραμμική ελαστική ευστάθεια ράβδων διαμέσου θεωριών δοκού ανώτερης τάξης. Προκειμένου να υλοποιηθεί αυτό, το πρώτο βήμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εξέταση του στρεπτοκαμπτικού λυγισμού σύμμικτων δοκών λαμβάνοντας υπόψη τα φαινόμενα της στρέβλωσης (εκτός επιπέδου παραμόρφωση) και την διατμητικής υστέρησης (διαφοροποίηση της κλασσικής κατανομής ορθών τάσεων) λόγω κάμψης και στρέψης. Στο δεύτερο βήμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής, μορφώνεται το πρόβλημα της γραμμικής κα μη γραμμικής στατικής ανάλυσης ομογενών δοκών λαμβάνοντας υπόψη τα φαινόμενα της αξονικής στρέβλωσης και της διαστρέβλωσης (εντός επιπέδου παραμόρφωση) επιπρόσθετα σε εκείνα λόγω της καμπτικής και στρεπτικής συμπεριφοράς της δοκού διαμέσου του σχήματος διαδοχικής ισορροπίας που υιοθετείται (πλεονεκτήματα έναντι προβλημάτων ιδιοτιμών). Κύριο τμήμα του δεύτερου βήματος αποτελεί η διατύπωση, η αρχικοποίηση και η επίλυση των προβλημάτων συνοριακών τιμών που αφορούν στον υπολογισμό των αξονικών μορφών στρέβλωσης και διαστρέβλωσης διαμέσου του σχήματος διαδοχικής ισορροπίας. Στο προτελευταίο βήμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής, οι προηγούμενα αναπτυγμένες αξονικές μορφές στρέβλωσης και διαστρέβλωσης μαζί με τις αντίστοιχες καμπτικές και στρεπτικές χρησιμοποιούνται προκειμένου να μορφωθεί και να επιλυθεί το πρόβλημα της γραμμικής ελαστικής ευστάθειας δοκών. Στο τελευταίο βήμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής, διεξάγεται μη γραμμική ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη τα φαινόμενα της στρέβλωσης και της διαστρέβλωσης λόγω αξονικής, διατμητικής, καμπτικής και στρεπτικής δομικής συμπεριφοράς και πραγματοποιείται σύγκριση με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που λαμβάνονται στην περίπτωση όπου λαμβάνεται υπόψη μόνο η στρέβλωση και η διατμητική υστέρηση λόγω κάμψης και στρέψης. Αξίζει να σημειωθεί ότι σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις η διατομή της δοκού είναι τυχούσα, ενώ ο λόγος του Poisson λαμβάνεται υπόψη στον υπολογισμό των αξονικών, καμπτικών και στρεπτικών μορφών στρέβλωσης και διαστρέβλωσης. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή χρησιμοποιούνται δύο αριθμητικές μέθοδοι. Η πρώτη είναι η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων που χρησιμοποιείται για την επίλυση των προβλημάτων συνοριακών τιμών που αφορούν στον υπολογισμό των αξονικών, καμπτικών και στρεπτικών μορφών στρέβλωσης και διαστρέβλωσης και των γεωμετρικών σταθερών. Η δεύτερη μέθοδος είναι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιείται για τη διακριτοποίηση των και την επίλυση των καθολικών εξισώσεων ισορροπίας της δοκού. Στη βάση των αναλυτικών και αριθμητικών μεθόδων που παρουσιάζονται στην παρούσα διδακτορική διατριβή έχουν γραφτεί προγράμματα σε FORTRAN 90/95 και έχουν μελετηθεί αντιπροσωπευτικά αριθμητικά παραδείγματα. Επιπρόσθετα, έχουν γραφτεί scripts σε MATLAB προκειμένου να ερμηνευθούν τα αποτελέσματα διαμέσου δισδιάστατων και τρισδιάστατων γραφημάτων της δοκού. Η ακρίβεια και η αξιοπιστία των προτεινόμενων μεθόδων επιβεβαιώνονται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων που αντλούνται από τη βιβλιογραφία και αποτελεσμάτων που εξάγονται από αναλύσεις τρισδιάστατων και επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων.