Δυναμική μη-γραμμικών συστημάτων πλέγματος: ασυμπτωτική συμπεριφορά και μελέτη της ύπαρξης και της ευστάθειας εντοπισμένων ταλαντώσεων

Abstract

The primary objective of the proposal for this PhD thesis is the theoretical and numerical study of lattice differential equations appearing as fundamental models in various nonlinear phenomena. This thesis uses techniques from nonlinear analysis, nonlinear physics, dynamical systems and the numerical analysis for the purpose of numerical simulations. Animportant general question for the asymptotic behavior of solutions of gradient systems, is if globally defined and bounded orbits converge to equilibrium as t converges to infinity. This simple stated question but of fundamental importance in theory and applications, remains open in its generality. Even for gradient systems in R^2, counter-examples have been constructed due to R. Palis and W. de Melo, showing that this convergence fails, and that La Salle’s invariance principle arguments are not applicable. On the other hand, even when convergence holds, other exciting situations may appear. Simple examples given by A. Haraux and M.A Jendoubi, demonstrate the convergence to a continuum of equilibria (e.g., the equilibrium set is not discrete), and a nontrivial structure of the ω-limit set of the flow appears. The derivation of global stability results and convergence rates to nonlinear excited states, for DNLS and DKG lattices involving dissipative effects, is of primary interest in this PhD thesis. In Section2, we present some characteristics of the Klein-Gordon model. Next we prove global existence of solutions, while we present the analytical considerations, concerning the convergence to a single equilibrium. Then the nest paragraph is devoted to the analytical results, concerning the global bifurcation of nonlinear equilibria. Finally we report the results of our numerical simulations. In section 3, we begin with the applications of the discrete nonlinear Schr\"odinger to various physical phenomena. Concerning mechanisms of nonlinear gain or loss we study the so-called defocusing case for s=1, while for s = −1 the focusing case. Together with the initial conditions, we supplement the lattice, with either periodic boundary conditions or Dirichlet boundary conditions . In the case of an infinite lattice, we consider vanishing boundary conditions . For simplicity, in what follows, the periodic initial-boundary value problem will be called as ( P), while the Dirichlet or vanishing initial-boundary value problem, will be called as ( D). Then, we prove the analytical arguments on the finite-time collapse for its solutions. The methods are motivated from the results and questions posed on the dynamics of the continuous counterpart. Extending the energyarguments from the continuum to the discrete ambient space, and by using a spatially averaged power energy functional, we prove analytical estimates for the blow-up time. The values of the real effect coefficients, γ (linear) and δ (nonlinear), define areas of different dynamics. As we will see, for γ,δ>0 we have the blow-up of solutions in finite time, while for γ,δ<0, decay of solutions. In addition, we derive the existence of a critical value γ∗ on the linear loss, separating the finite-time collapse (when γ> γ∗) from the decay (when γ< γ∗) of solutions, as in the continuous case. Next, we present the results of numerical simulations. In this study we establish the validity of the analytical estimates. The numerical findings revealed that the analytical estimates can be used in order to classify distinct types of collapse: extended, localized, or collapse dynamics which is combination of the previous types. We explore the role of the discreteness, the amplitude of initial condition and the defocusing/focusing nature of the lattice in the dynamics. The numerical blow-up times are close (and in some cases where found to be in excellent agreement), with theanalytical upper or lower bound. They correspond to the extended or localized type of collapse. On the other hand, when these times lie between the analytical bounds, the system has a non-trivial dynamical transition towards collapse. The results of this study, aspire to reveal substantial differences in the mathematical treatment of the above questions, between discrete and continuous models and their observed dynamics. The role of the discreteness is proved to be of fundamental importance.

Σκοπός αυτής της εργασίας, είναι η μελέτη συστημάτων πλέγματος, που αποτελούν θεμελιώδη μοντέλα για διάφορα μη γραμμικά φαινόμενα σε διακριτά μέσα. Τα ερωτήματα που μελετά η παρούσα διατριβή, αντιμετωπίστηκαν με μεθόδους και τεχνικές από περιοχές όπως τη μη-γραμμική φυσική, τη μη-γραμμική ανάλυση, τα δυναμικά συστήματα και την περιοχή της αριθμητικής ανάλυσης, υπό την έννοια των αριθμητικών προσομοιώσεων. Στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία με τις κατάλληλες τεχνικές από την περιοχή των απειροδιάστατων δυναμικών συστημάτων, που θα είναι χρήσιμες στην αντιμετώπιση των προβλημάτων που θα συζητηθούν στη συνέχεια. Το κίνητρο της μελέτης μας προέρχεται από ένα γενικό ερώτημα για την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων δυναμικών συστημάτων κλίσης (gradient systems). Αυτό το ερώτημα εξετάζει, αν καθολικά ορισμένες και φραγμένες τροχιές, συγκλίνουν σε σημείο ισορροπίας καθώς ο χρόνος t συγκλίνει στο άπειρο. Όπως θα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο, υπάρχει παράδειγμα το οποίο παρουσιάζεται από τους R. Palis και W. de Melo Palis, όπου ένα δυναμικό σύστημα κλίσης ακόμη και στον R^2 μπορεί να μη συγκλίνει σε μοναδικό σημείο ισορροπίας και η Αρχή του Αναλλοίωτου να μην είναι εφαρμόσιμη. Από την άλλη μεριά, παραδείγματα με μεγάλο ενδιαφέρον, τα οποία έχουν μελετηθεί από τους A. Haraux και M. A. Jendoubi, είναι αυτά για τα οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται, αλλά σε ένα συνεχές λύσεων ισορροπίας. Επιπλέον, η δομή του ω-οριακού συνόλου της ροής είναι μη-τετριμμένη. Ο στόχος μας, είναι να εξάγουμε αποτελέσματα ευστάθειας και σύγκλισης σε μη γραμμικές καταστάσεις για μη γραμμικά πλέγματα με απόσβεση. Στο Κεφάλαιο 2, ξεκινώντας με την πρώτη παράγραφο, αναφέρουμε βασικά χαρακτηριστικά της διακριτής εξίσωσης Klein--Gordonκαι το κίνητρο μας για την μελέτη του προβλήματος σύγκλισης. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την καθολική ύπαρξη λύσεων του προβλήματος αρχικών συνθηκών, με συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Στην τρίτη παράγραφο παρουσιάζουμε τις αναλυτικές υποθέσεις για την εξίσωση μας και χρησιμοποιώντας κατάλληλες ενεργειακές εκτιμήσεις σε συνδυασμό με μια διακριτή εκδοχή της ανισότητας Lojasiewicz, η οποία εφαρμόζεται για πρώτη φορά σε μη-γραμμικά πλέγματα, αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα της σύγκλισης σε μοναδικό σημείο ισορροπίας, για κάθε αρχική συνθήκη του πλέγματος. Στη τέταρτη παράγραφο, διερευνώντας την θεωρία καθολικών διακλαδώσεων, επιβεβαιώνουμε το γεγονός ότι στη διακριτή περίπτωση, όλες οι γραμμικές καταστάσεις συνεχίζονται σε μη-γραμμικές καταστάσεις ισορροπίας. Τέλος, εκτελώντας αριθμητικές προσομοιώσεις αναδεικνύουμε την πλούσια δομή του συνόλου των σημείων ισορροπίας και τις δυνατότητες σύγκλισης. Με τις αριθμητικές προσομοιώσεις της εξέλιξης του συστήματος, λαμβάνουμε επίσης, πληροφορίες για την δυναμική ευστάθεια των κλάδων των σημείων ισορροπίας. Πραγματοποιούμε επίσης πρώτες συζητήσεις για την επίδραση της διακριτότητας και την δύναμη απόσβεσης, στην δυναμική της σύγκλισης. Συνοψίζοντας, τα αποτελέσματα υποδεικνύουν την εξαιρετικά πλούσια και περίπλοκη δυναμική σύγκλισης σε μη-τετριμμένες καταστάσεις ισορροπίας και ταυτόχρονα την πλούσια δομή του συνόλου αυτών των καταστάσεων, ακόμη και στην απλούστερη φαινομενικά περίπτωση, του διευσταθούς δυναμικού.Στο Κεφάλαιο 3, αρχικά συζητάμε στη πρώτη παράγραφο και με σύντομο τρόπο, πεδία εφαρμογών της διακριτής μη γραμμικής εξίσωσης Schr\"odinger σε διάφορα φυσικά συστήματα. Στη συνέχεια, στη δεύτερη παράγραφο, εφοδιάζουμε την προαναφερθείσα εξίσωση, με μηχανισμούς που περιγράφουν γραμμικό και μη-γραμμικό κέρδος, ή απώλεια ενέργειας. Για τη μελέτη μας, θεωρούμε τόσο την αφεστιάζουσα s=1, όσο και την εστιάζουσα περίπτωση s=-1 της εξίσωσης. Θεωρώντας το πρόβλημα αρχικών τιμών με περιοδικές συνοριακές συνθήκες ή με συνοριακές συνθήκες Dirichlet, διερευνούμε και αποδεικνύουμε αναλυτικές συνθήκες για την έκρηξη των λύσεων σε πεπερασμένο χρόνο. Για την αντιμετώπιση του παραπάνω προβλήματος, λαμβάνουμε υπόψη τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της δυναμικής της συνεχούς περίπτωσης. Συγκεκριμένα, επεκτείνοντας τα επιχειρήματα της μελέτης, στο διακριτό χώρο, και χρησιμοποιώντας κατάλληλο συναρτησιακό \ell^2-ενέργειας, αποδεικνύουμε αναλυτικές εκτιμήσεις, για το χρόνο έκρηξης με την μορφή άνω και κάτω φραγμάτων. Οι τιμές των πραγματικών συντελεστών των παραπάνω επιδράσεων, γ (γραμμική) και δ (μη-γραμμική), ορίζουν περιοχές με διαφορετική δυναμική. Όπως θα δούμε, για γ,δ>0 έχουμε έκρηξη λύσεων σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ για γ,δ<0, φθορά λύσεων. Επιπλέον διακρίνουμε μια κρίσιμη τιμή γ*, η οποία διαχωρίζει τις δύο προαναφερθείσες δυναμικές στην περίπτωση όπου, γ<0 και δ>0. Έπειτα, στη τρίτη παράγραφο, παρουσιάζουμε αποτελέσματα αριθμητικών προσομοιώσεων των φαινομένων της έκρηξης και της φθοράς των λύσεων, για μια ευρεία κλάση αρχικών συνθηκών. Στη μελέτη αυτή, διαπιστώνουμε την εγκυρότητα των αναλυτικών εκτιμήσεων. Επιπλέον αναδεικνύεται η χρησιμότητα τους, στο να αναγνωρίζουμε και να ταξινομούμε διαφορετικούς τύπους έκρηξης: εκτεταμένο, εντοπισμένο ή και δυναμική έκρηξης που συνδυάζει τους παραπάνω τύπους. Τα βασικά αποτελέσματα εντοπίζονται στον ρόλο που έχει η διακριτότητα, το πλάτος των αρχικών συνθηκών, ο αφεστιάζοντας/εστιάζοντας χαρακτήρας του πλέγματος, και οι μηχανισμοί ενέργειας στην επιλογή των διαφορετικών μηχανισμών που οδηγούν στην έκρηξη. Οι αριθμητικοί χρόνοι έκρηξης προσεγγίζουν, και σε κάποιες περιπτώσεις είναι σε εξαιρετική συμφωνία, με το άνω ή κάτω φράγμα, αντίστοιχα. Ο συνδυασμός των αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων, δείχνει ότι οι ταυτίσεις αυτές αντιστοιχούν στην εκτεταμένη ή εντοπισμένη δυναμική έκρηξης, αντίστοιχα. Από την άλλη, όταν αυτοί οι χρόνοι βρίσκονται ανάμεσα στα αναλυτικά φράγματα, σχετίζονται με μη τετριμμένη δυναμική μετάβασης στην έκρηξη των λύσεων. Τα αποτελέσματα μας φιλοδοξούν να αναδείξουν ουσιαστικές διαφορές στη μαθηματική αντιμετώπιση των παραπάνω ερωτημάτων μεταξύ των διακριτών και συνεχών μοντέλων, αλλά και στην παρατηρήσιμη δυναμική τους: o ρόλος της διακριτότητας αποδεικνύεται για μια ακόμη φορά θεμελιώδους σημασίας.